专题检测(十九) 导数的简单应用（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十九)　导数的简单应用 1．(2022·贵州凯里模拟)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　) A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a≤0 C　解析：因为f′(x)＝3ax2＋1， 所以f′(x)＝3ax2＋1＝0有解⇒3a＝－＜0，即a<0. 2．(2022·广东广州一模)曲线f(x)＝x3＋1在点(－1, a)处的切线方程为(　　) A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1 C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3 A　解析：f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3， 又当x＝－1时，a＝x3＋1＝－1＋1＝0， 所以f(x)＝x3＋1在点(－1, 0)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3. 3．(2022·云南昆明模拟)函数f(x)＝ex－ax在x＝0处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C． D． C　解析：函数f(x)＝ex－ax的导函数为f′(x)＝ex－a，函数在x＝0处的导数值即为切线的斜率，f′(0)＝e0－a＝1－a，由切线与直线ax－y－1＝0平行，则有1－a＝a，可得a＝. 4．(2022·湖南永州模拟)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是(　　) A．2x－ey＝0 B．2x＋ey＝0 C．ex－2y＝0 D．ex＋2y＝0 A　解析：曲线f(x)＝2ln x，f′(x)＝， 切点为(t, 2ln t)，所以切线l的斜率k＝f′(t)＝， 又直线l过原点， 所以k＝＝，得ln t＝1，t＝e. 所以k＝，故切线l的方程为y－2＝(x－e)即2x－ey＝0. 5．(2022·福建莆田模拟)下列直线中，既不是曲线C1：y＝ex的切线，也不是曲线C2：y＝ln x的切线的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝ex D．y＝e(x－2) D　解析：对于曲线C1，y′＝ex， 若ex＝1，则x＝0，y＝1， 切线方程为y－1＝1×(x－0)，y＝x＋1，A选项不符合题意； 若ex＝e，则x＝1，y＝e， 切线方程为y－e＝e(x－1)，y＝ex，C选项不符合题意； 对于曲线C2，y′＝， 若＝1，则x＝1，y＝0， 切线方程为y＝x－1，B选项不符合题意； 若＝e，则x＝，y＝ln ＝－1， 切线方程为y＋1＝e(x－)，y＝ex－2，D选项符合题意． 6．(2022·广西柳州二模)已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为(　　) A． B． C． D． C　解析：如下图所示： 若使得|PQ|取最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sin x求导得y′＝－cos x，令y′＝，可得cos x＝－，∵0≤x≤π，解得x＝. 7．(2022·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，f(m)＝g(n)，则mn的最小值是(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：由函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x，f(m)＝g(n)， 得ln m＝2n，则mn＝m ln m，m＞0， 令h(m)＝mn＝m ln m，m>0， h′(m)＝(1＋ln m)， 当m>时，h′(m)>0，当0＜m＜时，h′(m)<0， 所以函数h(m)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以h(m)min＝h()＝－， 即mn的最小值是－. 8．(2022·湖北武汉一模)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是(　　) A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制 B　解析：因为f(x)＝＝＝·(x＞0)， f′(x)＝·， 令f′(x)>0，0＜x＜e；令f′(x)＜0，x＞e， 得f(x)在(0, e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(3)＞f(8)＞f(10)， 故只需比较f(2)与f(3)的大小，而f(2)＝ f(4)， 故可得f(3)>f(4)＝f(2).则表达效率最高的是三进制． 9．(2022·四川达州模拟)写出一个奇函数f(x)，当x>0时，f(x)>0且其导函数f′(x)<0，则f(x)＝________． (答案不唯一)　解析：f(x)＝为奇函数，当x>0时，f(x)>0，且f′(x)＝－＜0，符合题意． 10．(2022·湖北十堰一模)已知函数f