专题检测(十六) 定点、定值与存在性问题（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十六)　定点、定值与存在性问题 1．(2022·河北张家口一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是，实轴长是8. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点P(0, 3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA||DB|＝|PB||DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值． (1)解：依题意得解得 所以双曲线C的标准方程是－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 直线l的方程为y＝kx＋3. 将直线方程y＝kx＋3代入双曲线方程－＝1， 化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0， Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B， 则应满足 即解得－＜k＜－. 由|PA||DB|＝|PB||DA|， 得＝，故＝， 所以x0＝＝＝－. 又y0＝kx0＋3＝－＋3＝－， 所以点D的纵坐标为定值－. 2．(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切． (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M过点A，B， 所以圆心M在线段AB的垂直平分线上， 由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称， 所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切， 所以⊙M的半径为r＝|a＋2|. 由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO， 故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2. 由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2， 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的拋物线，所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，为定值，得证，所以存在满足条件的定点P. 3．(2022·山东济宁一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，A，B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，△ABF的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点)，点P与点M，N分别关于原点、y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意得＝，则a＝2c，b＝C． △ABF的面积为(a－c)b＝， 则(a－c)b＝. 将a＝2c，b＝c代入上式，得c＝1，则a＝2，b＝， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意可知直线PQ的斜率一定存在， 设直线PQ的方程为y＝kx＋m， 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)， 则M(－x1，－y1)，N(－x1, y1)，E(－x1, 0)， 联立方程得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ∴x1＋x2＝－， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m ＝k(－)＋2m＝， ∴kMQ＝＝＝－， kPE＝＝kPQ＝k， ∵kMP＝＝2＝2kPE＝2k， ∴kMP·kMQ＝－×2k＝－， ∴直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值－. 4．(2022·福建漳州二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，且过点P(， 1). (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线y＝kx＋m(m>0)交y轴于点M，交C于不同两点A，B，点N与M关于原点对称，BO⊥AN，Q为垂足．问：是否存在定点M，使得|NQ||NA|为定值． 解：(1)依题意知2a＝2，即a＝， 所以椭圆C的方程可化为＋＝1， 将点P(， 1)代入C得＋＝1，解得b2＝2， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋5k2)x2＋10kmx＋5m2－10＝0， Δ＝(10km)2－4(1＋5k2)(5m2－10)＞0，解得m2＜2＋10k2， x1＋x2＝，x1x2＝， 注意到Q，N，A三点共线，BO⊥AN，Q为垂足， 所以|NQ||NA|＝||||＝·，·＝0， 又M(0，m)，N(0，－m)， 所以·＝(＋)·＝· ＝x1x2＋(y1＋m)(y2＋m) ＝x1x2＋(kx1＋2m)(kx2＋2m) ＝(1＋k2)x1x2＋2mk(x1＋x2)＋4m2 ＝－＋4m2 ＝＋4