专题检测(十五) 最值与范围问题（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十五)　最值与范围问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知F(1, 0)，动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2，动点P的轨迹记为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知A(2，0)，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1＋S2的最大值． 解：(1)设点P(x，y)，则|x－6|＝2＋2(x＜6)， 整理得3x2＋4y2＝12，即＋＝1. 故曲线C的方程为＋＝1. (2)由题意可知直线l的斜率不为0， 则可设直线l的方程为x＝my＋1， 联立 整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ， 则|y1－y2|＝ ＝＝ ， 故S1＋S2＝|OA||y1|＋|OA||y2| ＝|OA||y1－y2|＝. 设t＝≥1，则m2＝t2－1， 则S1＋S2＝＝. 因为t≥1，所以3t＋≥4(当且仅当t＝1时，等号成立)， 故S1＋S2＝≤3，即S1＋S2的最大值为3. 2．(2022·江苏无锡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－1，)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M, N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求的取值范围． 解：(1)由题意知解得 椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝k(x－1)(k<0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2), 联立得3x2＋4k2(x2－2x＋1)＝12， 整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)＞0， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ∴|PM|＝|x1|，|PN|＝|x2|， |PF|＝， ∴＝|x1|＋|x2|， 当点P在椭圆外部，若k≤－，则x1≥0，x2>0， ∴|x1|＋|x2|＝x1＋x2＝＝∈， 当点P在椭圆内部，若－＜k＜0，则x1<0，x2>0， ∴|x1|＋|x2|＝x2－x1＝， 令＝m，∴1<m<2， ∴x2－x1＝＝＝， 因为y＝在(1，2)上单调递减， 所以x2－x1＝∈(，4). 综上，的取值范围为. 3．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． (1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2). 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以y1，y2为方程()2＝4·， 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实数根． 所以y1＋y2＝2y0.M点纵坐标为＝y0，因此，PM垂直于y轴． (2)解：由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0 ＝(y＋y)－x0＝y－3x0＝(y－4x0)， |y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积 S△PAB＝|PM||y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0＜0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]. 因此，△PAB面积的取值范围是. 4．(2022·广东广州一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞0)的左焦点为圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心A． (1)求椭圆C的标准方程； (2)与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M，N两点，过B且与l垂直的直线m交圆A于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 解：(1)圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心A的坐标为(－1, 0)，所以椭圆C的半焦距c＝1， 又a2＝b2＋c2，所以a2＝4， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝. 过点B(1, 0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)， 点A到直线m的距离为，圆A的半径为4， 所以|PQ|＝2＝4. 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12. 可得当直线l与x轴不垂直时， 四边形MPNQ面积的取值范围为(12, 8)； 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8， 四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为[12, 8). 5．如图，已知抛物线：x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x, y)(－＜x＜)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|