专题检测(十四) 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十四)　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题 1．(2022·陕西安康二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点． (1)证明：以AB为直径的圆与直线x＝－1相切； (2)设(1)中的切点为P，且点P位于x轴上方，若△ABP的面积为8，求直线l的方程． (1)证明：由题意得抛物线y2＝4x的焦点为F(1, 0)，准线方程为x＝－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|＝|AF|＋|BF| ＝(1＋x1)＋(1＋x2)＝2＋(x1＋x2)， 弦AB的中点M(，)， 则M到准线x＝－1的距离为－(－1)＝＋1＝， ∴以AB为直径的圆与直线x＝－1相切． (2)解：由题可知直线l的斜率不能为0， 设直线l的方程为x＝my＋1， 由得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， ∴|AB|＝2＋(x1＋x2)＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4. 点P的坐标为(－1，2m)， 则点P到直线AB的距离为＝2， 故S△ABP＝×2×(4m2＋4)＝4()3＝8，解得m2＝1，即m＝±1， 又点P位于x轴上方，∴m＝1， ∴直线l的方程为x－y－1＝0. 2．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，椭圆C1的中心与抛物线C2的顶点重合．过点F且与x轴垂直的直线交椭圆C1于A，B两点，交抛物线C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求椭圆C1的离心率； (2)设M是椭圆C1与抛物线C2的公共点．若|MF|＝5，求椭圆C1与抛物线C2的标准方程． 解：(1)由已知可设抛物线C2的方程为y2＝4cx(c＞0)， 其中c＝ . 不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－ ； C，D的纵坐标分别为2c，－2c， 故|AB|＝，|CD|＝4C． 由|CD|＝|AB|得4c＝， 即3×＝2－2()2， 解得＝－2(舍去)或＝ . 所以椭圆C1的离心率为. (2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆C1：＋＝1. 设M(x0，y0)， 则＋＝1，y＝4cx0， 故＋＝1.① 因为抛物线C2的准线为x＝－c， 所以|MF|＝x0＋c， 而|MF|＝5，故x0＝5－c， 代入①得＋＝1， 即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3. 所以椭圆C1的标准方程为＋＝1，抛物线C2的标准方程为y2＝12x. 3．(2022·山东济南历城二模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(1，－2)，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l的方程为y＝x－2，求△OAB的面积； (2)若直线OA，OB的斜率为k1，k2，且k1＋k2＝2，求直线l的方程． 解：(1)将点M(1，－2)代入抛物线方程，可得p＝4，则抛物线方程为y2＝8x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得x2－12x＋4＝0. ∴x1＋x2＝12，则|AB|＝x1＋x2＋4＝16. 又点O到直线AB的距离为. ∴S△OAB＝××16＝8. (2)由题意知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l方程为y＝k(x－2)， A(x1, y1)，B(x2, y2)， 联立可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0， 显然Δ＞0，从而x1＋x2＝，x1x2＝4. ∴k1＋k2＝＋＝＋ ＝2k－(＋)＝2k－ ＝2k－2k＝－＝2， ∴k＝－2. ∴直线l的方程为2x＋y－4＝0. 4．(2022·湖南娄底模拟)已知椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为(1，).直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的焦点F且与直线AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O作一条与直线AB平行的直线l，过F作与直线MO垂直的直线m，设l∩m＝Q，求证：直线PQ⊥x轴． (1)解：依题意得解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：联立消去y得， (3＋4k2)x2＋8kx－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－， 设M(x0, y0)，所以x0＝＝－， y0＝kx0＋1＝， 所以直线MO的斜率为＝－， 则直线MO的方程为y＝－x， F的坐标为(1, 0)， 过F且与直线AB垂直的直线方程为y＝－(x－1)， 由y＝－(x－1)与y＝－x联立消去y得，点P的横坐标为4， 直线m的方程为y＝(x－1)，直线l的方程为y＝kx， 由y＝(x－1)与y＝kx联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线PQ⊥x轴． 5．(2022·山东泰安