专题检测(十一) 不等式选讲（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十一)　不等式选讲 1．(2022·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|＋2m(m∈R). (1)若m＝，求不等式f(x)≤的解集； (2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝时f(x)＝|x＋1|－|x－1|＋1＝ 由f(x)≤，则或或 解得x＜－1或－1≤x≤－或x∈∅， 综上可得，不等式的解集为(－∞，－]. (2)因为f(x)＝|x＋1|－|x－1|＋2m ≤|(x＋1)－(x－1)|＋2m＝2＋2m，当且仅当x≥1时取等号， 又f(x)≤0恒成立，所以2＋2m≤0恒成立，解得m≤－1，即m∈(－∞，－1]. 2．(2022·云南昆明模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. (1)求＋的最小值； (2)证明：＋＋≤. (1)解：∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1， ∴b＋c＝1－a＞0， ∴＋＝＋ ＝[a＋(1－a)](＋)＝5＋＋ ≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝时等号成立，即＋的最小值为9. (2)证明：由柯西不等式得 [(1－a)＋(1－b)＋(1－c)](1＋1＋1)≥ (＋＋)2， 即6≥(＋＋)2， 故不等式＋＋≤成立，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 3．(2022·四川师范大学附属中学二模)已知函数f(x)＝|x－a|＋. (1)若a＝1，求不等式f(x)≤4的解集； (2)若存在x0，使得f(x0)≤2成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)≤4⇔|x－1|＋|x＋1|≤4⇔ 或或 ⇔－2≤x＜－1或－1≤x≤1或1＜x≤2，解得－2≤x≤2， ∴f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤2}． (2)存在x0使得f(x0)≤2成立，等价于f(x)min≤2， 而f(x)＝|x－a|＋ ≥＝， 当且仅当(x－a)(x＋)≤0时成立， ∴f(x)min＝，则≤2， 而＝|a|＋≥2，即2≤≤2， ∴＝2，解得a＝1或a＝－1， 则a的取值范围为{－1, 1}． 4．设函数f(x)＝|1－2x|－3|x＋1|，f(x)的最大值为M，正数a，b满足＋＝Mab． (1)求M； (2)是否存在a，b，使得a6＋b6＝？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)分三类讨论如下： ①当x＜－1时，f(x)＝x＋4，单调递增，f(x)＜3； ②当－1≤x≤时，f(x)＝－5x－2，单调递减，f(x)max＝f(－1)＝3， ③当x＞时，f(x)＝－x－4，单调递减，f(x)＜f()＝－， 综合以上讨论得，f(x)的最大值M＝3. (2)假设存在正数a，b， 使得a6＋b6＝≥2＝2a3b3， 显然①②相互矛盾， 所以假设不成立，即不存在a，b使得a6＋b6＝. 5．(2022·云南昆明一模)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋1|. (1)解不等式f(x)≥1； (2)若|x－m|≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得f(x)＝ 由f(x)≥1可得或或 解得－1＜x≤－或x≤－1， 所以不等式的解集为{x|x≤－}． (2)如图所示，函数y＝|x－m|图象是顶点为(m，0)，开口向上的“V”型折线，其左支y＝－x＋m过点(－1，2)时，m＝1. ①当m≥1时，函数y＝|x－m|图象在函数y＝f(x)的图象上方(有1个交点)，不等式|x－m|≥f(x)，显然成立； ②当m＜1时，函数y＝|x－m|图象的部分在函数y＝f(x)的图象下方，|x－m|≥f(x)不恒成立． 综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞). 6．已知函数f(x)＝|x－2|－t，t∈R，g(x)＝|x＋3|. (1)若对∀x∈R，有f(x)≥g(x)，求实数t的取值范围； (2)若不等式f(x)≤0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab－2a－b＝2t－2，求a＋2b的最小值． 解：(1)因为∀x∈R，有f(x)≥g(x)， 所以|x－2|－t≥|x＋3|在x∈R时恒成立， 所以t≤|x－2|－|x＋3|， 由||x－2|－|x＋3||≤|x－2－x－3|＝5， 所以－5≤|x－2|－|x＋3|≤5， 所以t≤－5，所以实数t的取值范围为(－∞，－5]. (2)由不等式f(x)≤0的解集为[1，3]， 得|x－2|≤t，解得2－t≤x≤2＋t， 所以解得t＝1. 将t＝1代入ab－2a－b＝2t－2中， 得ab－2a－b＝0，所以＋＝1， 所以a＋2b＝(a＋2b)(＋) ＝＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号， 所以a＋2b的最小值为9. 7．(2022·广西南宁模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，x∈R． (1)画出f(x)的图象，若g(x)＝x＋m与y＝f(x)的图象有三个交点，求实数m的取值范围； (2