专题检测(十) 坐标系与参数方程（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(十)　坐标系与参数方程 1．(2022·陕西交大附中模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若A，B是曲线C上的两点，且OA⊥OB，求＋. 解：(1)由参数方程可得2x＋y＝2t，2x－y＝， 两式相乘得普通方程为4x2－y2＝4. 故曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4， 即ρ2＝. (2)因为OA⊥OB， 所以可设A(ρA，θ)，B(ρB，θ±)， ρ＝，ρ＝， ＋＝＋ ＝＋＝＝. 2．(2022·陕西西安三模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数).在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程． 解：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)， ∴直线l的普通方程为x＋y－2＝0. ∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 根据可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. (2)联立解得或 ∴|AB|＝＝， AB的中点坐标为(，). ∴以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝，即x2＋y2－3x－y＋2＝0， 根据可得以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2－3ρcos θ－ρsin θ＋2＝0. 3．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数). (1)写出C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标． 解：(1)根据C1的参数方程，消去参数t可得x＝⇒y2＝6x－2(y≥0)， 所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0). (2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcos θ－ρsin θ＝0， 所以普通方程为y＝2x. 根据C2的参数方程，消去参数s可得x＝－⇒y2＝－6x－2(y≤0). 根据得或 所以C3与C2交点的直角坐标为，(－1，－2). 根据得或 所以C3与C1交点的直角坐标为，(1，2). 4．(2022·江西宜春模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0. (1)写出l的普通方程和曲线C的参数方程； (2)点P在圆C上，当点P到直线l的距离最大时，求点P的直角坐标． 解：(1)由t为参数，可得x－y＝， 所以l的普通方程为x－y－＝0， 由ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0可得x2＋y2－2x＋2y－1＝0， 所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋)2＝4，参数方程为(φ为参数). (2)设点P(1＋2cos φ，－＋2sin φ)， 则点P到l的距离 d＝ ＝， 所以sin (φ－)＝－1时，d最大， 此时φ＝2kπ－(k∈Z)， cos φ＝，sin φ＝－， 所以P(1＋，－2). 5．(2022·四川达州二模)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数). (1)写出曲线C与直线l的普通方程； (2)设当t＝0时l上的点为M，点N在曲线C上．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段MN中点P的轨迹的极坐标方程． 解：(1)∵曲线C的参数方程为(θ为参数)， ∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝4， ∵直线l的参数方程为(t为参数)， ∴直线l的普通方程为x－y＋1＝0. (2)由题可知M(－1，0)，设N(x0，y0)，P(x，y)， 则即 所以可得点P的轨迹方程为(2x＋1)2＋(2y)2＝4， 即(x＋)2＋y2＝1，∴x2＋y2＋x－＝0， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ2＋ρcos θ－＝0. 6．(2022·山西吕梁三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝φ(ρ∈R). (1)求C1的极坐标方程； (2)设C1与C2交于M，N两点，若|OM|＋|ON|＝4，求C2的直角坐标方程． 解：(1)因为C1的参数方程为(α为参数)， 所以消去参数α可得C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2－4y－5＝0， 又 所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0. (2)由于C1与C2交于M，N两点， 联立得ρ2－4ρs