专题检测(九) 立体几何（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(九)　立体几何 1．(2022·安徽蚌埠二中模拟)如图，圆锥PO的母线长为，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝2. (1)若△ABC是正三角形，求三棱锥P­ABC的体积； (2)若平面PAC⊥平面PBC，且∠ABC＝60°，证明：PA⊥PC． (1)解：由题意可知，△ABC是边长为2的等边三角形， 则圆O的半径为r＝＝2， 所以，圆锥PO的高为h＝＝， 又因为S△ABC＝×(2)2＝3， 因此，V三棱锥P­ABC＝S△ABC·h＝. (2)证明：依题意PA＝PB＝PC＝，BC＝2， ∴PB2＋PC2＝BC2，∴PB⊥PC， ∵平面PAC⊥平面PBC， 且平面PAC∩平面PBC＝PC，PB⊂平面PBC， ∴PB⊥平面PAC， 又PA⊂平面PAC，∴PB⊥PA， ∴AB＝＝2， ∵∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，AC＝2， ∵PA2＋PC2＝AC2，∴PA⊥PC． 2．(2022·山西大同模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点． (1)证明：CE∥平面PAD； (2)当PB的长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD？请说明理由，并求出此时点E到平面PCD的距离． (1)证明：如下图所示，取线段PA的中点F，连接EF，FD，因为E为棱PB的中点， 则EF为△PAB的中位线， 所以EF∥AB，且EF＝AB， 因为底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB＝2CD， 所以EF∥CD，且EF＝CD， 所以四边形CEFD为平行四边形，所以CE∥DF， 因为DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD． (2)解：当PB＝2时，平面PAD⊥平面ABCD．理由如下： 在△PAB中，因为AB＝PA＝2， 若PB＝2，则AB2＋PA2＝PB2，所以AB⊥PA， 又因为AB⊥AD，AD∩PA＝A， PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD， 又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD． 因为E为棱PB的中点，所以E到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离的一半． 因为AB⊥平面PAD，AB∥CD， 所以CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD． 所以S△PCD＝×1×2＝1，S△BCD＝×1×2＝1， 如下图所示，取AD中点O，连接PO， △APD为等边三角形，则PO⊥AD，PO＝. 因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 设点B到平面PCD的距离为h， 由V三棱锥P­BCD＝V三棱锥B­PCD得×1×＝×1×h，解得h＝， 所以点E到平面PCD的距离为. 3．(2022·广西南宁模拟)如图，在三棱柱A′B′C′­ABC中，侧棱AA′⊥底面ABC，AB＝AC，BC＝AA′，D，E分别是BC，BB′的中点． (1)证明：DC′⊥平面ADE； (2)试探究三棱锥C­AC′E的体积与三棱锥C′­ADE的体积之比是否为定值，若是定值，再进一步求出此定值；若不是，请说明理由． (1)证明：在三棱柱A′B′C′­ABC中，AA′＝CC′＝BB′，BC＝AA′， 所以＝＝＝， 所以＝＝＝， 所以＝， 所以△C′CD∽△DBE，所以∠C′CD＝∠DBE， ∠C′DC＝∠DEB，∠CC′D＝∠BDE， 因为∠CC′D＋∠CDC′＝90°，∠BDE＋∠CDC′＝90°， 所以∠C′DE＝90°，即C′D⊥DE. 因为AB＝AC且D为BC的中点，所以AD⊥CB， 在直三棱柱A′B′C′­ABC中，平面BB′C′C⊥平面ABC，且交于BC，AD⊂平面ABC， 所以AD⊥平面BB′C′C，DC′⊂平面BB′C′C， 所以AD⊥DC′. 又因为DE⊥DC′，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE， 所以DC′⊥平面ADE. (2)解：结论：三棱锥C′­AC′E的体积与三棱锥C′­ADE的体积比是定值． 设AA′＝a，则BC＝a， 因为D，E分别是BC，BB′的中点， 所以CD＝BC＝a，BE＝BB′＝a， 所以DC′＝＝＝a， DE＝＝＝a， 由等体积法可知VC­AC′E＝VA­CC′E，VC′­ADE＝VA­DC′E， ＝ ＝ ＝＝＝. 4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F­ABC的体积． (1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB， 所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC， 又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE，