专题检测(四) 三角恒等变换与解三角形（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(四)　三角恒等变换与解三角形 题组一　 三角恒等变换问题 1．(2022·山东潍坊期末)如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α终边上的一点，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由题意可得P(－1，2)， x＝－1，y＝2，r＝|OP|＝， 故cos α＝＝＝－， 则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 2．(2022·山东枣庄模拟)已知sin(－α)＝，则cos (2α－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：cos (2α－)＝cos (－π＋2α－) ＝－cos (2α－) ＝－cos (－2α)＝－ ＝－(1－2×)＝－. 3．(2022·江苏扬州期末)已知sin(α＋)＋sin (α－)＝1，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C． D． B　解析：由题意可知， sin α＋cos α＋(sin α－cos α)＝1， 即2sin α＝1，解得sin α＝， 所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝. 4．已知sin(θ－)＝，则sin (2θ＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：设α＝θ－， 则θ＝α＋，sin α＝， 从而sin (2θ＋)＝sin [2(α＋)＋] ＝sin (2α＋)＝cos 2α＝1－2sin2α＝. 5．已知实数x，y满足x2＋3y2＝3，则x＋y的最大值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 C　解析：由题设知＋y2＝1， 令cosθ＝x，sin θ＝y且θ为任意角， ∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，即x＋y的最大值为2. 6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 C　解析：因为m＝2sin18°，m2＋n＝4， 所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°. 所以＝ ＝＝＝＝2. 7．(2022·江苏通州期末)若1＋＝，则α的一个可能角度值为__________． 50°(答案不唯一)　解析：1＋＝＝＝＝＝＝＝，则sin α＝sin 50°，故α＝k·360°＋50°，k∈Z或α＝k·360°＋130°，k∈Z，故50°， 130°， 410°， 490°等均符合题意． 8．若tan 20°＋4cos θ＝，则θ的值可能为________． 70°(答案不唯一)　解析：由题意得， 4cos θ＝－tan 20°＝tan 60°－tan 20° ＝－ ＝ ＝＝ ＝4sin 20°＝4cos 70°. 因此θ＝70°(实际上θ＝k·360°±70°，k∈Z). 9．(2022·重庆长寿期末)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan (θ1＋θ2)＝__________． －1　解析：由题意l＝h tan θ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan θ1＝2，tan θ2＝3， 所以tan (θ1＋θ2)＝＝＝－1. 题组二　解三角形 1．(2022·广东五华一模)△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4 B．2 C． D． B　解析：△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，由正弦定理得，＝，即＝，解得AC＝2. 2．(2022·湖南永州二模)已知△ABC的三个内角A，B，C满足＝＝，则B＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：因为＝＝， 由正弦定理可得＝＝， 设a＝5t(t＞0)，则b＝7t，c＝8t， 由余弦定理可得cos B＝＝， ∵0°<B<180°，因此，B＝60°. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝4，△ABC的面积为3，则sin B＝(　　) A． B． C． D． A　解析：S＝bc sin A＝c＝3， 所以c＝3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝13，解得a＝， 又由正弦定理可得＝， 所以sin B＝＝. 4．(2022·江苏如东模拟)某校数学建模社团学生为