专题检测(二) 数列（Word练习）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题检测(二)　数　列 1．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． (1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)解：由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n-1， 由bk＝am＋a1得b1·2k-1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k-1＝2m， 由题知1≤m≤500， 所以2≤2m≤1 000，即2≤2k-1≤1 000 所以k＝2，3，4，…，10，共9个数， 即集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9. 2．(2022·河北保定模拟)在数列{an}中，a3＝12，且数列{an－2n}是公差为2的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝2n·，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)因为数列{an－2n}是公差为2的等差数列， 所以an－2n＝ a1－2＋2(n－1)＝2n＋a1－4， 则an＝2n＋2n＋a1－4. 因为a3＝12，所以23＋6＋ a1－4＝12，解得a1＝2. 故an＝2n＋2n－2. (2)因为bn＝2n· ＝2n(－)＝－， 所以Sn＝－＋－＋…＋－＝－＝1－＝1－＝＝. 3．(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：方案一：选①②⇒③，即已知{an}及{ }是等差数列，求证：a2＝3a1. 证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则＝ . 由{}为等差数列，知＋＝2， 即＋ ＝2， 即a1＋3a1＋3d＋2＝8a1＋4d， 即2＝4a1＋D． 所以12a＋12a1d＝16a＋8a1d＋d2， 所以4a－4a1d＋d2＝0，即2a1－d＝0.所以d＝2a1. 所以a2＝a1＋d＝a1＋2a1＝3a1. 方案二：选①③⇒②，即已知{an}是等差数列且a2＝3a1，求证：{}是等差数列． 证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1. 所以Sn＝na1＋×d＝na1＋×2a1＝n2a1. 所以＝n，所以＝ . 当n≥2时，－＝n－(n－1)＝，为常数． 所以数列{ }是首项为，公差为的等差数列． 方案三：选②③⇒①，即已知数列{ }是等差数列，且a2＝3a1，求证：数列{an}是等差数列． 证明：设等差数列{ }的公差为d， 则－＝d，即－＝d，则＝D． 所以＝＋(n－1)d＝＋(n－1)＝n，所以Sn＝n2a1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1， 所以an－an－1＝(2n－1)a1－[2(n－1)－1]a1＝2a1. 所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列． 4．(2022·河北邯郸模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2()an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Tn； (3)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n－Sn的最小值． 解：(1)数列{an}满足a1＝2， an＋1＝2()an(n∈N*)， 则a2＝4a1>0，a3＝2×a2>0，…， 以此类推，对任意的n∈N*，an>0， 由已知条件可得＝2·， 又＝2，∴是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴＝2n，即an＝n·2n. (2)Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n, ① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1, ② ①－②得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2， 因此，Tn＝(n－1)2n+1＋2. (3)∵bn＝＝，则Sn＝1＋＋＋…＋， 令cn＝S2n－Sn， 则cn＋1－cn＝(S2n＋2－ Sn＋1)－(S2n－ Sn) ＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)＝＋－ ＝－＝>0， 则cn＋1>cn， 则数列{cn}为单调递增数列， 所以数列{cn}的最小值为c1＝S2－S1＝. 5