高考倒计时 第10天 平面向量、数系的扩充与复数的引入（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第10天　平面向量、数系的扩充与复数的引入 1．三点共线的判定 (1)A，B，C三点共线⇔，共线； (2)向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. 2．中点坐标和三角形的重心坐标 (1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2), ＝⇔P为P1P2的中点，中点P的坐标为(，). (2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是(，). 3．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 4．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i； (2)＝i，＝－i； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)； (4)若ω＝－±i，则ω0＝1，ω2＝，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 5．关于复数模的运算性质 (1)|z1z2|＝|z1||z2|；(2)|z|n＝|zn|； (3)＝. 1．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行． 2．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． 3．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧． 1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　A　) A．(－23，－12)　　　　　 B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：由题意可得3a－2b＋c ＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y) ＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)， 所以解得所以c＝(－23，－12). 2．(2022·山东聊城一模)复数z满足(1＋2i)z＝3－i，则|z|＝(　A　) A． B． C．2 D． 解析：因为(1＋2i)z＝3－i， 所以z＝＝＝－i， 所以|z|＝＝. 3．(2022·山东烟台一模)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则＝(　C　) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 解析：由(1＋2i)z＝4＋3i⇒z＝＝＝2－i，所以＝2＋i. 4．(2022·山东淄博一模)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　A　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：z＝＝＝，因为复数z＝的实部与虚部相等，所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故实数a的值为－3. 5．(2022·山东潍坊一模)已知复数z满足z＋3＝4＋5i，则在复平面内复数z对应的点在(　A　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则＝x－yi， 由z＋3＝4＋5i得(x＋yi)＋3＝4(x－yi)＋5i， 即(x＋3)＋yi＝4x＋(5－4y)i， 于是得解得 则有z＝1＋i对应的点为(1，1)， 所以在复平面内复数z对应的点在第一象限． 6．(2022·湖南岳阳二模)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一对角线BD上，则·的值为(　B　) A．－2 B．2 C．1 D．4 解析：设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示， ＝＋， 所以·＝(＋)· ＝2＋·＝×22＋0＝2. 7．已知向量a，b，c满足a＋b＝(1，－1)，a－3b＝(－7，－1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　B　) A．|a|＝|b| B．a∥c C．θ＝45° D．b⊥c 解析：∵a＋b＝(1，－1)，a－3b＝(－7，－1)， ∴a＝(－1，－1)，b＝(2，0)， 得|a|＝，|b|＝2，故A错误； 又c＝(1，1)，则a＝－c，则a∥c，故B正确； cos θ＝＝＝－， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝135°，故C错误； ∵b·c＝2×1＋0×1＝2≠0， ∴b与c不垂直，故D错误． 8．(2022·江苏金陵中学二模)设平面向量a＝(1, 2)，b＝(－2, y)，若a∥b，则|3a＋b|＝(　A　) A． B． C． D． 解析：由于a∥b， 所以1×y＝2×(－2)，y＝－4，b＝(－2，－4