微点培优4 洛必达法则（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

微点培优4　≡洛必达法则≡ 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)f(x)＝ g(x)＝0(或±∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)，则 ＝ ＝A(可连续使用). 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)如果当x>0且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围． 解：(1)由题意知f′(x)＝－(x＞0). 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 故即解得 (2)利用洛必达法则求解． 由题设可得，当x＞0，x≠1时，k＜＋1恒成立． 令g(x)＝＋1(x＞0，x≠1)， 则g′(x)＝2·， 再令m(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x＞0)， 则m′(x)＝2x ln x＋－x， 令h(x)＝2x ln x＋－x(x＞0)， 又h′(x)＝2ln x＋1－， 易知h′(x)＝2ln x＋1－在(0，＋∞)上为增函数，且h′(1)＝0， 故当x∈(0，1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)＞h(1)＝0，即m′(x)＞m′(1)＝0， 所以m(x)在(0，＋∞)上为增函数，又m(1)＝0， 所以当x∈(0，1)时，m(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，m(x)＞0， 所以当x∈(0，1)时，g′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则知， g(x)＝2 ＋1＝2 ＋1＝2×(－)＋1＝0， 所以k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]. 对函数不等式的恒成立问题求参数取值范围时，通常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论. 如本题若直接讨论函数的性质，相当繁琐，很难求解，而采用变量分离法较易求解，但是分离出来的函数式的最值无法求解，但是利用洛必达法则能较好地求出最值，这是一种值得借鉴的方法． 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围． 解：当x∈(1，＋∞)时， f(x)＞0⇔a＜， 令H(x)＝， 则H′(x)＝ ＝， 令K(x)＝x－－2ln x，则K′(x)＝＞0， 于是K(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以K(x)＞K(1)＝0，于是H′(x)＞0， 从而H(x)在(1，＋∞)上单调递增． 由洛比达法则，可得 ＝ ＝ ＝2， 于是a≤2，于是a的取值范围是(－∞，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$