微点培优3 导数中的构造函数问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

微点培优3　≡导数中的构造函数问题≡ 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值类问题，则构造函数，并确定自变量的取值范围，通过研究函数的单调性、最值等，可使问题变得清晰明了，因此，准确构造函数是解题的关键. 构造函数的主要依据有两个：一是直接根据所求解不等式或方程；二是根据求导的基本法则． 考向一 构造函数比较大小 (1)(2022·江苏南京宁海中学二模)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)≤2f(x)，对于x∈R恒成立，则下列不等关系正确的是(　A　) A．e2f(0)＞f(1)，e4 040f(1)＞f(2 021) B．e2f(0)＜f(1)，e4 040f(1)＞f(2 021) C．e2f(0)＞f(1)，e4 040f(1)＜f(2 021) D．e2f(0)＜f(1)，e4 040f(1)＜f(2 021) 分析：令g(x)＝，根据导函数的正负可确定g(x)单调递减，由此得到g(0)＞g(1)＞g(2 021)，代入整理可得结果． 解析：令g(x)＝， 则g′(x)＝＝， ∵f′(x)≤2f(x)，e2x＞0，∴g′(x)≤0， ∴g(x)在R上单调递减， ∴g(0)＞g(1)，g(1)＞g(2 021)， 即＞，＞， ∴e2f(0)＞f(1)，e4 040f(1)＞f(2 021). 关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较，解题关键是能够根据已知的不等式构造出新函数g(x)＝，通过g(x)单调性确定大小关系． (2)(2022·江苏泰州一模)已知α，β均为锐角，且α＋β－＞sin β－cos α，则(　D　) A．sin α＞sin β　　　　　　　 B．cos α＞cos β C．cos α＞sin β D．sin α＞cos β 分析：由已知条件可得β－sin β＞－α－sin (－α)，构造函数f(x)＝x－sin x，x∈(0，)，利用导数可得f(x)在(0，)上为增函数，从而可得β＞－α，再由正余弦函数的单调性可得结论． 解析：α＋β－＞sin β－cos α， β－sin β＞－α－sin (－α)， 令f(x)＝x－sin x，x∈(0，)， f′(x)＝1－cos x＞0， 所以f(x)在(0，)上为增函数， ∴β＞－α，∵α，β均为锐角， ∴cos β＜cos (－α)，sin β＞sin (－α)， ∴cos β＜sin α，sin β＞cos α. (2022·江苏苏州模拟)设a＝eπ，b＝2π，c＝πe(e为自然对数的底数)，则(　C　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析：设函数f(x)＝，则f′(x)＝， ∴当x＞e时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)＝在[e，＋∞)上为减函数， ∴＞，即eπ＞πe， ∴a>c ，又πe＞＝9，2π＜＝8，8＜9， ∴c>b，∴a＞c＞b． 考向二 构造函数解不等式 (1)(2022·福建泉州模拟)设函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)·f′(x)>x恒成立，则(　D　) A．f(1)＜f(－1) B．f(1)＞f(－1) C．|f(1)|＜|f(－1)| D．|f(1)|＞|f(－1)| 分析：构造函数g(x)＝[f2(x)－x2]，利用导函数研究其单调性，求出结果． 解析：设g(x)＝[f2(x)－x2]， 则g′(x)＝[2f(x)f′(x)－2x]＝f(x)f′(x)－x＞0恒成立， 所以g(x)＝[f2(x)－x2]单调递增， 故g(1)＞g(－1)， 即[f2(1)－1]＞[f2(－1)－1]， 解得f2(1)＞f2(－1)，即|f(1)|＞|f(－1)|. (2)(2022·湖南常德模拟)若函数g(x)为定义在R上的奇函数，g′(x)为g(x)的导函数，当x≥0时，g′(x)＞2x，则不等式g(x)＞x2的解集为(　D　) A．(－∞，0) B．(－2，0) C．(0, 2) D．(0，＋∞) 分析：令h(x)＝g(x)－x2，则由已知可得h(x)在[0，＋∞)上单调递增，而h(0)＝0，从而将原不等式转化为h(x)＞h(0)，得x＞0，再利用g(x)为奇函数讨论x＜0的情况，进而可求得解集． 解析：令h(x)＝g(x)－x2，则h′(x)＝g′(x)－2x， 因为，当x≥0时，g′(x)＞2x，所以当x≥0时，h′(x)＞0， 所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 因为g(x)为定义在R上的奇函数， 所以g(0)＝0，所以h(0)＝g(0)－0＝0， 所以不等式g(x)＞x2转化为h(x)＞h(0)， 因为h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以x＞0， 所以当x≥0时