专题七 第四讲 2 利用导数研究不等式（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第2课时　利用导数研究不等式 考点一 利用导数证明不等式 (2022·山师大学附中模拟)已知函数f(x)＝(x－m)ln x在x＝e处的切线与直线2x－y＋2＝0平行． (1)求m的值，并求此切线方程； (2)证明：f(x)<ex＋cos x－1. (1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ∵f′(x)＝ln x＋1－，∴f′(e)＝2－， ∵f(x)在x＝e处的切线与直线2x－y＋2＝0平行， 即切线斜率为2， ∴f′(e)＝2－＝2，解得m＝0， ∴f(x)＝x ln x，∴f(e)＝e， ∴所求切线方程为y－e＝2(x－e)， 即2x－y－e＝0. (2)证明：函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 要证f(x)<ex＋cos x－1， 即证x ln x<ex＋cos x－1. ①当x∈(0, 1]时，x ln x≤0，ex－1>0，cos x>0， 即ex＋cos x－1>0，∴x ln x<ex＋cos x－1； ②当x∈(1，＋∞)时， 令g(x)＝ex＋cos x－1－x ln x， ∴g′(x)＝ex－sin x－ln x－1， 令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－cos x－， 当x>1时，ex>e，－1≤cos x≤1，0<<1， ∴ex－cos x－>0，即h′(x)>0， ∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)>h(1)＝e－sin 1－1>0，即g′(x)＞0， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)>g(1)＝e＋cos 1－1>0， 即x ln x<ex＋cos x－1在(1，＋∞)上恒成立． 综上所述，f(x)<ex＋cos x－1. 利用导数证明不等式的策略 (1)证明f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)，可通过构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将上述不等式转化为求证h(x)≥0或h(x)≤0，从而利用求h(x)的最小值或最大值来证明不等式．也可利用f(x)min≥g(x)max或f(x)max≤g(x)min来证明不等式． (2)在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明． 若函数f(x)＝ex－ax－1(a＞0)在x＝0处取极值． (1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明：1＋＋＋…＋＞ln (n＋1)(n∈N*). (1)解：因为x＝0是函数的极值点，所以f′(0)＝0， 因为f′(x)＝ex－a，所以f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故极小值f(0)是函数的最小值． (2)证明：由(1)知ex≥x＋1.即ln (x＋1)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立， 令x＝(k∈N*)，则＞ln ，即＞ln ， 所以＞ln (1＋k)－ln k(k＝1，2，…，n)， 累加得1＋＋＋…＋＞ln (n＋1)(n∈N*). 考点二 不等式恒成立求参数的范围(值) (2022·山东济宁一模)已知函数f(x)＝ax2－x ln x＋(a∈R且a≠0). (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x ln x＋2(x＞0)，f(1)＝3， 所以f′(x)＝2x－(ln x＋1)＝2x－ln x－1，f′(1)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0. (2)因为f′(x)＝2ax－(ln x＋1)＝2ax－ln x－1(x＞0)， 令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝2a－＝， ①当a>0时，f(1)＝a＋>0与f(x)≤0恒成立矛盾，不合题意． ②当a<0时，h′(x)<0，h(x)即f′(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f′(e－1)＝2ae－1<0，f′(e2a－1)＝2a(e2a－1－1)>0， 所以存在x0∈(e2a－1，e－1)， 使得f′(x0)＝2ax0－ln x0－1＝0，即a＝. 所以当x∈(0, x0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)max＝ax－x0ln x0＋ ＝·x－x0ln x0＋ ＝≤0. 因为x0∈(e2a－1，e－1)，所以ln x0＋1<0. 所以9－(ln x0)2≥0，即－3≤ln x0＜－1， 解得e－3≤x0≤e－1. 因为a＝，所以设g(x)＝，x∈[