专题七 第四讲 1 利用导数研究函数的性质（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第四讲　导数的综合应用(大题) 第1课时　利用导数研究函数的性质 考点一 利用导数研究函数的单调性 (2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2ln x＋1. (1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围； (2)设a＞0，讨论函数g(x)＝ 的单调性． 解：设h(x)＝f(x)－2x－c， 则h(x)＝2ln x－2x＋1－c， 其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝ －2. (1)当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0. 所以h(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 从而当x＝1时，h(x)取得极大值也是最大值，最大值为h(1)＝－1－c． 故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c． 所以c的取值范围为[－1，＋∞). (2)g(x)＝ ＝， x∈(0，a)∪(a，＋∞). g′(x)＝＝. 取c＝－1得h(x)＝2ln x－2x＋2， h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)＜0， 即1－x＋ln x＜0. 故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时， 1－＋ln ＜0，从而g′(x)＜0. 所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)上单调递减． 求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论． (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意]　讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制． 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝ ， 则当x∈(0, )时，f′(x)<0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a<1时，f(x)在(0, )上单调递减， 在( ，＋∞)上单调递增． 考点二 求函数的极值、最值 已知函数f(x)＝12－x2. (1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程； (2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 解：(1)f′(x)＝－2x，令f′(x)＝－2，得－2x＝－2， 解得x＝1.所以切点为(1，11)， 切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0. (2)二次函数f(x)＝12－x2为偶函数，其图象是开口向下的抛物线，且关于y轴对称，故只需考虑一侧的情形即可． 不妨考虑x＞0时的情形． 设切点为(t，12－t2)，t＞0，可求得切线方程为 y－(12－t2)＝－2t(x－t)，得y＝－2tx＋t2＋12， 所以切线与坐标轴的交点坐标分别为A(0，t2＋12)，B(，0)， S(t)＝|OA||OB| ＝·(t2＋12) ＝， S′(t)＝＝， t，S′(t)，S(t)的变化情况如下表所示： t (0，2) 2 (2，＋∞) S′(t) － 0 ＋ S(t) ↘ 极小值 ↗ 故当t＝2时，S(t)取得最小值，为S(2)＝32. (1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值还是极小值． (2)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 已知函数f(x)＝ln x＋x＋1，g(x)＝x2＋2x. (1)求函数y＝f(x)－g(x)的极值； (2)若m为整数，对任意的x＞0都有f(x)－mg(x)≤0成立，求实数m的最小值． 解：(1)令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x＋1－x2－2x ＝ln x＋1－x2－x(x∈(0，＋∞)). h′(x)＝ －2x－1＝ . 当x∈(0，) 时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(，＋∞) 时，h′(x)＜0，h(x)单调递减． 故当x＝ 时，函数h(x)取得极大值， h() ＝ln ＋1－ － ＝－ln 2＋ ，h(x)无极小值． 综上，函数y＝f(x)－g(x)的极大值为－ln 2＋ ，无极小值． (2)∵对∀x＞0，f(x)－m