专题七 第四讲 3 利用导数研究函数零点（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第3课时　利用导数研究函数零点 考点一 判断(证明)函数零点的个数 (2022·广东韶关一模)已知函数f(x)＝logax－， a>0且a≠1. (1)若a＝e，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)若a＝e，则f(x)＝ln x－，f(1)＝0， 又f′(x)＝－，所以f′(1)＝， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y－1＝0. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 又f(x)＝logax－＝－， 所以函数f(x)的零点个数， 即方程ln x－(ln a)＝0的解的个数， 记h(x)＝ln x－(ln a)(x＞0)， 显然x＝1是函数h(x)的零点， h′(x)＝－＝， 记g(x)＝x2＋(2－2ln a)x＋1， Δ＝(2－2ln a)2－4＝4ln a(ln a－2)， 若Δ≤0，则0＜ln a≤2， 即1＜a≤e2，g(x)＞0，所以h′(x)＞0， 所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有唯一零点1； 若0＜a＜1，此时ln a＜0，则g(x)>0，h′(x)＞0， 所以h(x)单调递增，所以函数h(x)在(0，＋∞)有唯一零点1； 若a＞e2时，由于h(x)＋h()＝ln x－(ln a)＋ln －(ln a)＝0， 所以函数h(x)在(0, 1)的零点个数与在(1，＋∞)零点个数相同， 当x∈(0，1)时，g(0)＝1＞0，g(1)＝4－2ln a＜0， 所以∃x0∈(0，1)，使得g(x0)＝0， 当x∈(0, x0)时，g(x)>0，h′(x)＞0， 所以函数h(x)在(0, x0)上单调递增， 当x∈(x0, 1)时，g(x)<0，h′(x)＜0， 所以函数h(x)在(x0, 1)上单调递减． 所以h(x0)＞h(1)＝0， 又h()＝－ln a－(ln a)＝－ln a·＜0， 所以函数h(x)在(0, x0)有1个零点，在(x0, 1)没有零点， 所以函数h(x)在(0, 1)和(1，＋∞)各有1个零点．所以函数h(x)在(0，＋∞)上有3个零点． 综上所述，当0<a<1或1＜a≤e2时，函数f(x)的零点个数为1；当a>e2时，函数f(x)的零点个数为3. 求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； 第三步：结合图象求解． (2022·江苏常州模拟)已知函数f(x)＝ax－xa(x>0)，其中a>1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数并说明理由． 解：(1)因为f(x)＝ax－xa，其中x＞0， 则f′(x)＝ax ln a－axa－1， 由已知可得f′(1)＝a ln a－a＝a(ln a－1)＝0， 因为a>1，解得a＝e. (2)因为x>0，由f(x)＝ax－xa＝0可得x ln a＝a ln x，可得＝， 问题转化为当a≥e时，直线y＝与曲线g(x)＝的交点个数． g′(x)＝，由g′(x)＝0可得x＝e. 当0<x<e时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增， 当x>e时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减， 则g(x)max＝g(e)＝， 当x>1时，g(x)＝>0， 作出直线y＝与曲线g(x)＝的图象如图所示， 由图可知，当a＝e时，直线y＝与曲线g(x)＝的图象只有一个交点， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点； 当a>e时，0<g(a)<g(e)＝， 此时直线y＝与曲线g(x)＝的图象有两个交点， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 综上所述，当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；当a>e时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 考点二 根据零点个数求参数的值(范围) (2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝ (x>0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)， f′(x)＝＝(x>0)， 令f′(x)＝0得x＝， 当0<x< 时，f′(x)>0；当x> 时，f′(x)<0， 即f(x)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(0，). (2)f(x)＝＝1⇔ax＝xa⇔x ln a＝a ln x⇔＝， 设函数g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)， 令g′(x)＝0，得x＝e， 在(0