专题七 第三讲 导数的简单应用(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第三讲　导数的简单应用(小题) 考点一 导数的几何意义与运算 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 2．熟记八个基本初等函数的导数 (1)f(x)＝C(C为常数)，f′(x)＝0； (2)f(x)＝xα(α∈R)，f′(x)＝αxα－1； (3)f(x)＝sin x，f′(x)＝cos x； (4)f(x)＝cos x，f′(x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f′(x)＝ax ln a； (6)f(x)＝ex，f′(x)＝ex； (7)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，f′(x)＝； (8)f(x)＝ln x，f′(x)＝. 3．导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)′＝(g(x)≠0). 1．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析：∵y′＝aex＋ln x＋1， ∴k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. ∵已知切线方程为y＝2x＋b， ∴ 解得 2．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a, b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　D　) A．eb＜a　　　　　　　 B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea 解析：当b≤0时，由y＝ex的图象可知过点(a, b)只可以作曲线y＝ex的一条切线，所以b＞0.因为过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，所以点(a, b)在点(a，ea)的下方，所以0＜b＜eA． (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标． 考点二 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 (1)求单调区间或证明单调性，只要在函数定义域内解或证明f′(x)>0或f′(x)<0； (2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题． 提醒：f′(x)≥0是可导函数为增函数的必要不充分条件． 1．(2022·山东枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋4x＋a ln x，若函数f(x)在(1, 2)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　C　) A．(－6, ＋∞) B．(－∞， －16) C．(－∞， －16]∪[－6, ＋∞) D．(－∞， －16)∪(－6, ＋∞) 解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x＋4＋ ＝ ， f(x)在(1, 2)上是单调函数， ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1, 2)上恒成立， 即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1, 2)上恒成立， 即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1, 2)上恒成立． 记g(x)＝－(2x2＋4x)，x∈(1, 2)， 则－16＜g(x)＜－6，∴a≥－6或a≤－16， 即实数a的取值范围是(－∞， －16]∪[－6, ＋∞). 2．(2022·福建莆田模拟)已知函数f(x)＝ax－ex，∀x∈(1，＋∞)，f(x)<a ln x＋a－ex，则实数a的取值范围是(　D　) A． (－∞，1) B．(－∞，1] C． (－∞，e) D． (－∞，e] 解析：由已知a ln x＋a－ex>ax－ex， 得ex－ex＋a(ln x＋1－x)>0， 令φ(x)＝ex－ex＋a(ln x＋1－x)，x>1， 则φ′(x)＝ex－e＋a(－1)， 可得φ(1)＝0，φ′(1)＝0， 当a≤0时，φ′(x)＝ex－e＋a(－1)>0， φ(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)>φ(1)＝0，成立； 当a>0时，令u(x)＝ex－e＋a(－1)， 则u′(x)＝ex－， 令v(x)＝ex－，则v′(x)＝ex＋>0， ∴u′(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴u′(x)> u′(1)＝e－a． ①当a≤e时，u′(x)> u′(1)＝e－a≥0， ∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴u(x)>u(1)＝0， ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(1)＝0，成立； ②当a>e时，u′(1)＝e－a<0，