专题七 第二讲 基本初等函数、函数的应用(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第二讲　基本初等函数、函数的应用(小题) 考点一 比较大小问题 1．(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　A　) A．a＜c＜b　　　　　　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：∵3log32＝log38＜log39＝2， ∴log32＜，即a＜C． ∵3log53＝log527＞log525＝2，∴log53＞， 即b＞C．∴a＜c＜B． 2．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　A　) A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0 C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0 解析：∵2x－2y＜3－x－3－y， ∴2x－3－x＜2y－3－y， ∵y＝2x－3－x＝2x－()x在R上单调递增， ∴x＜y，∴y－x＋1＞1，|x－y|＝y－x， ∴ln (y－x＋1)＞ln 1＝0，ln |x－y|＝ln (y－x)，无法判断其与0的大小． 3．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　A　) A．a＞0＞b　　　　　　 B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a 解析：因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011.因为log910－log1011＝－＝＞＝＞0，所以a＞0.b＝8log910－9＝8log910－8log89，因为log910－log89＝－＝＜＝＜0，所以b＜0.综上，a＞0＞B．故选A． 比较大小问题是近几年高考的一个热点内容，解决此类问题的关键是掌握好幂函数、指数函数、对数函数的性质，尤其是单调性，同时还要熟练掌握指数、对数互化及指数、对数运算法则． 考点二 基本初等函数的图象与性质 1．指数式与对数式的八组公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)(ab)m＝ambm； (4)loga(MN)＝logaM＋logaN(M＞0，N＞0)； (5)loga＝logaM－logaN(M＞0，N＞0)； (6)logaMn＝nlogaM(M＞0，N＞0)； (7)alogaN＝N； (8)logab＝(c＞0且c≠1). 2．指数函数、对数函数的图象与性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)图象与性质，分0<a<1，a>1两种情况. 当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都是减函数． 3．幂函数：图象与性质与幂指数α有关． 1．(2021·河北唐山二模)不等式()x≤的解集是(　B　) A． B．[，＋∞) C． D．[，＋∞) 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图所示． 当()x＝时，解得x＝， 由图象知()x≤的解集是[，＋∞). 2．已知函数f(x)＝|log2 x|，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n).若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为(　A　) A．，2 B．，4 C．， D．，4 解析：(数形结合求解) f(x)＝|log2x|＝如图所示． 根据f(m)＝f(n)(m＜n)及f(x)的单调性， 知mn＝1且0＜m＜1，n＞1. 又f(x)在[m2，n]上的最大值为2， 由图象知，f(m2)＞f(m)＝f(n)， ∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]. 故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝. 3．(2022·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(log312)＝__7__． 解析：因为函数f(x)＝ 所以f(－1)＝2＋log22＝3， f(log312)＝3log312－1＝3log34＝4， 所以f(－1)＋f(log312)＝7. (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数的范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 考点三 函数的零点 函数的零点问题 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两函数图象的交点求解． 1．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0， 即2sin x－2sin x cos x＝0， ∴2si