专题七 函数与导数（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题七　函数与导数 ≡三年考情分析≡ 全国高考试卷 考查内容 考情分析 2023 全国乙卷 T8·选择题　T20·解答题 1.从分值看：本专题分值为22分～27分． 2.从考查内容看：(1)全方位：函数知识点的覆盖率仍较大；(2)多层次：各种难度的函数题都有涉及，且题型齐全；(3)变角度：加大函数应用题、探索题和信息题的考查力度；(4)重能力：以导数为背景与其他知识交汇. 3.从考查素养看：考查学生的数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养． 全国甲卷 T8·选择题　T20·解答题 2022 全国乙卷 T8·选择题　T11·选择题 T16·填空题　T20·解答题 全国甲卷 T7·选择题　T8·选择题 T12·选择题　T20·解答题 2021 全国乙卷 T8·选择题　T9·选择题 T12·选择题　T21·解答题 全国甲卷 T4·选择题　T12·选择题　T20·解答题 ≡明解题方向≡ 四“转”两“分” 技巧策略 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题． ≡知评卷标准≡ (12分)(2022·山东临沂一模)已知函数f(x)＝ex－2a(a>0). (1)若a＝e，讨论f(x)的单调性； (2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，证明：1<x1＋x2<2ln a＋ln 2. 规范解答 阅卷现场 (1)解：当a＝e时，f(x)＝ex－2e(x≥0), ∴f′(x)＝ex－＝.1分 令φ(x)＝ex－e，φ′(x)＝ex＋>0， ∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，2分 又φ(1)＝0，3分 ∴当x∈(0，1)时，φ(x)<0，∴f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)>0，∴f′(x)>0， 综上，当x∈(0, 1)时，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递增．4分 (2)证明：∵x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点， 则ex1＝2a，ex2＝2a，x1>0，x2>0， 化为x1＝ln 2a＋ln x1，x2＝ln 2a＋ln x2，5分 ∴x2－x1＝ln x2－ln x1， 不妨设x2>x1，令t＝>1，∴x1＝，x2＝，6分 要证x2＋x1＝>1，只要证ln t>， 即ln t－>0， 令g(t)＝ln t－，t>1，则g′(t)＝－＝>0，则g(t)在(1，＋∞)上单调递增， 则有g(t)> g(1)＝0，于是得x2＋x1>1，8分 又x2＋x1＝2ln 2a＋ln x1x2，要证x2＋x1<2ln a＋ln 2， 只需证2ln 2a＋ln x1x2<2ln a＋ln 2， 即证x1x2<，9分 而x1x2＝，即<， 即(ln t)2<，即证ln t<－， 只要证ln t－＋<0，10分 令h(t)＝ln t－＋(t＞1)， h′(t)＝－－＝－<0， 从而h(t)在(1，＋∞)上单调递减，h(t)<h(1)＝0， 即有x2＋x1<2ln a＋ln 2，11分 综上，1<x1＋x2<2ln a＋ln 2.12分 一、评分细则 1.第(1)问一次求导后观察出1为导数的零点，并判断符号也算对． 2.第(2)问严格按所给评分标准给分． 二、答卷分析 1.总体得分不理想，平均分为1.67分，最高分12分． 2.得分分布： 3.出现的典型错误 (1)基础知识掌握不牢，最基本的求导法则都记错，不求定义域，误认为是R. (2)做题的规范性差. 第一问讨论函数的单调性属于基本题型，平时应练习的非常多，但是从改卷来看相当一部分学生掌握的较差，没有养成良好的做题习惯，常见问题：丢掉定义域，求导错误，判断符号写的乱七八糟随心所欲，给人的感觉不是考试而是在练习，没有给出结论等． (3)题型掌握的似是而非，没有抓到本质. 第二问属于极值点偏移问题，部分学生强套公式构造函数，对于参数a没给处理，导致无法解题． 阅卷心得： 1．注重基础，熟练掌握通性通法，参考答案提供的方法是解决极值点偏移的常用方法，要熟练掌握，提高解决常见问题的熟练程度； 2．对于数学基础较好的同学要加强解题策略和技巧的训练，各类构造函数的方法要熟练掌握； 3．要重视解题过程的完整性和规范性，推理过程要有理有据，尽量减少步骤失分； 4．重视运算能力的训练，尽量减少计算上的失误． 学科网（北京）股份有限公司 $$