微点培优2 抛物线焦点弦的活用（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

微点培优2　≡抛物线焦点弦的活用≡ 数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题，而新命题、新结论有助于数学运算，两者相辅相成．下面关于抛物线焦点弦的四个常用结论即为具体表现之一． 考向一 活用x1x2＝，y1y2＝－p2 (2022·山东青岛模拟)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为__y2＝8x__． 解析：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 直线AB：x＝my＋， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 本例通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特性，将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象的核心素养. 代入数值进行计算，体现了数学运算的核心素养． 已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF＝3S△BOF(O为坐标原点)，则|AB|＝________． 解析：∵y2＝4x，∴F(1，0)， 又∵S△AOF＝3S△BOF，∴yA＝－3yB， 又∵yAyB＝－p2＝－4， ∴y＝，y＝12. 又∵y＝4xB，y＝4xA，∴xA＝3，xB＝， ∴|AB|＝xA＋xB＋p＝. 考向二 活用|AB|＝x1＋x2＋p＝ 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 解析：由2p＝3，及|AB|＝， 得|AB|＝＝＝12. 原点到直线AB的距离d＝|OF|sin30°＝， 故S△AOB＝|AB|d＝×12×＝. 本例通过抛物线焦点弦长公式的拓展，将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题，体现了数学抽象的核心素养；再通过倾斜角、斜率联立方程坐标运算，体现了数学运算的核心素养． 经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝____2____． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵线段AB的中点M的横坐标为7， ∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝，∴p＝2. 考向三 活用＋＝ 过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝________． 解析：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 本例将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题，体现了数学抽象的核心素养；再通过焦半径结论代入计算，体现了数学运算的核心素养． 如图，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为________． 解析：过A点作AD⊥l(图略)， |AD|＝|AF|＝|AC|＝4， |OF|＝＝4×＝1，所以p＝2， 因为＋＝，|AF|＝4， 所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 即线段AB的长为. 考向四 活用|AF|＝，|BF|＝ 点F是抛物线y2＝4x的焦点，O为原点，点A，B在抛物线上且满足＝3，则△AOB的面积为____． 解析：∵＝3， 设y2＝4x的焦点弦的倾斜角为α， ∴||＝，||＝， ∴＝3×， ∴cos α＝，sin α＝. 又∵|AB|＝|AF|＋|BF|＝， ∴S△AOB＝|AF||OF|sin∠AFO＋|BF||OF|sin ∠BFO ＝|OF|·sinα＝××＝. 即△AOB的面积为. 过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． (1)若已知直线l的倾斜角为α，则焦半径公式为 |AF|＝，|BF|＝； (2)若已知A，B两点的横坐标为x1，x2，则焦半径公式为|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋. 过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则＝________． 解析：∵|AF|＝＝， |BF|＝＝2p， ∴＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$