微点培优1 隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

微点培优1　≡隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题≡ 近几年来阿波罗尼斯圆即隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目. 该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来解决. 对优化思维过程，提升数学解题能力，培养数学核心素养大有裨益． 考向一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)或者垂直确定隐圆 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为[2－，2＋]． 解析：圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°. 在Rt△PAO中，|PO|＝＝2， 又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝， ∴－1≤2≤＋1， 解得2－≤a≤2＋. 题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆． 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为__[－2，2]__． 解析：由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，|OA|＝|OB|，得四边形PAOB是正方形，|PO|＝，所以P的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆．又点P也在圆M上，所以0≤|OM|≤＋，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.即实数a的取值范围为[－2，2]. 考向二 两定点A，B，动点P满足·＝λ确定隐圆 已知点A(－1, 0)，B(1, 0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的取值范围是__[－2,_1]__. 解析：设M(x，y)， ＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 因为·＝3， 所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3即x2＋y2＝4，表示以原点O为圆心，2为半径的圆． 又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点， 所以2－1≤≤1＋2， 即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1， 即实数a的取值范围为[－2，1]. 满足条件：两定点A，B，动点 P 满足·＝λ的轨迹为圆． 已知圆O：x2＋y2＝1.若圆O上存在两点A，B，直线y＝2上存在点M，满足＝λ(λ>0)，则λ的取值范围是__(0，2]__． 解析：画出草图(图略)，由题易得点A在B，M之间，任取点M，过点M作圆的切线，此时A，B重合，绕点M顺时针旋转，符合题意；由题知λ>0，且当|MA|最小、|AB|最大时λ最大，λ为2(此时A，B，M在y轴上)，可得0<λ≤2.则λ的取值范围是(0，2]. 考向三 两定点A，B，动点 P 满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2, 0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是____． 解析：设M(x，y)，∵A(2，0)，O(0，0)， 因为|MA|2＋|MO|2≤10， 所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10， 化简得x2＋y2－2x－3≤0， 则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－， 代入x2＋y2－2x－3≤0可得－≤y≤， 所以点M的纵坐标的取值范围是. 在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题． 已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是__[－1，＋1]__． 解析： 如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB， 则＝＋， 因为||＝||＝，·＝1， 所以||＝|＋|＝ ＝， 由|＋|＝1得 |＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1， 所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上， 而||表示点C到点O的距离， 从而||－1≤||≤||＋1， 即－1≤||≤＋1， 即||的取值范围是[－1，＋1]. 考向四 阿波罗尼斯圆 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为__－__． 解析：设点P(x，y)， 由＝3，可得Q(，). 又点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上， 可得()2＋(－1)2＝1， 即x2＋(y－3)2＝9， 所以点P既在圆x2＋(y－3)2＝9上， 又在直线y＝k(x－