专题5.1 函数（高效培优讲义，3知识7重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

专题5.1 函数 教学目标 1.能准确复述函数的概念，说出函数三要素（定义域、对应关系、值域），并能判断两个函数是否相同。 2.能识别并说明函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法）及其适用情境，能根据实际情境选择合适的表示方式。 教学重难点 教学重点 会求常见函数的定义域，掌握分式、偶次根式、零指数幂等限制条件的处理规则；能借助解析式或图象求简单函数的值域。 教学难点 理解抽象函数符号 的含义，会求 、 等具体函数值，能正确处理 与 的区别。 知识点01 函数的概念 1. 函数的定义 设 、 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 叫自变量， 的取值范围 叫定义域； 与 对应的 叫函数值，函数值的集合 叫值域，值域是 的子集。 两个关键：“任意”（定义域中每个元素都要有对应）与“唯一”（一个 只能对应一个 ）。这两点是判断对应关系是否为函数的核心依据。 2. 函数的三要素 要素 含义 注意点 定义域 自变量 的取值集合 优先确定，常由解析式有意义与实际意义共同决定 对应关系 与 的对应法则 可用解析式、表格、图像表示 值域 所有函数值组成的集合 由定义域和对应关系共同决定 判断两个函数是否相同：定义域相同 且 对应关系相同（与自变量用什么字母表示无关）。例如 与 是同一函数； 与 不是同一函数（对应关系不同）。 3. 求定义域的常见类型 分式：分母不为零，如 ，定义域为 。 偶次根式：被开方数非负，如 ，定义域为 。 零次幂：底数不为零，如 。 实际问题：结合变量的实际意义，如边长为正、人数为整数等。 复合型：多个条件同时满足，取各条件对应集合的交集。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 【答案】 【难度】0.85 【详解】函数，所以，解得. 知识点02 函数的表示方法 解析法：用式子表示，便于计算与推理； 列表法：用表格列出对应值，直观但通常只能表示有限个对应； 图像法：用图形表示，能直观反映变化趋势。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【详解】当时，，则. 故答案为：10 知识点03 分段函数 在定义域的不同部分有不同对应关系的函数叫分段函数。它是一个函数，不是几个函数。 求分段函数的函数值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应表达式； 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，. 故选：B 题型01 函数概念辨析 【例1】（25-26高一上·上海·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 【变式1-1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误； 对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误； 对于C，即，满足函数的定义，故C正确； 对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作直线，，通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【变式1-3】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 题型02 判断两个函数是否相同 【例2】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； B选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； C选项，等价于，与原函数对应关系不同，不是同一函数. D选项，等价于，与原函数是同一函数； 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 【变式2-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 【变式2-3】下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】A：定义域为，的定义域为，故A错误； B：定义域为，的定义域为，故B错误； C：两函数的定义域都为，又，所以两个函数表示同一函数，故C正确； D：当时，无意义，而,故D错误； 故选：C 题型03 求函数的定义域 【例3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】由题意知. 故答案为：. 【变式3-1】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题可得，则，所以的取值范围为. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 由. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 题型04 求函数值 【例4】（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 【答案】 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 【答案】70 【详解】因为函数满足：对任意的实数，都有，且， 所以令，则， 所以 ， 累加可得， 同理， 所以. 故答案为：70. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则_________． 【答案】 【详解】由①得，∴， 因此由②得， 又，而， 所以，所以， 所以，又，所以，从而， 由③得时，， 所以， 而，所以， 所以， 故答案为：． 题型05 求值域 【例5】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 【变式5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式5-2】函数的值域为_________. 【答案】 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，设定义在上，且满足的函数的值域为A，若集合，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】令，得或（舍去）． 当时，， 故对任意，都存在，，故， 故； 而当时，． 故当时，a的取值范围是． 故答案为： 题型06 解析法、图象法、列表法表示函数 【例6-1】下列表示函数，则________． x y 2 3 4 5 【答案】4 【详解】由表可知． 故答案为：4. 【例6-2】游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC； 再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B. 故选：D 【例6-3】某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（   ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】A 【详解】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，，时，，时，，时，，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，所以选项B错误， 对于选项C，当时，，所以选项C错误， 对于选项D，当时，，所以选项D错误， 故选：A. 【变式6-1】如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意， 故选：D． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【详解】观察表格，用分段函数表示法可得所求即为. 【变式6-3】（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一张卡片，每张卡片上都印有一个不小于且不大于10的整数，其中不含．每张卡片数字对应一个抽奖号码，卡片上的数字减去所得的差，与抽奖号码减去所得的差，两者的乘积等于12． (1)记卡片上的数字为，卡片数字对应的抽奖号码为，请用含有卡片数字的式子来表示抽奖号码； (2)当抽奖号码不小于且不大于时，抽奖者可以领取奖品．请问抽到哪些数字的卡片可以领取奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合． 【详解】（1）卡片上的数字为，对应的抽奖号码为，依题意，， 而，则，所以. （2）由（1）知，由抽奖条件，得， ，因此， 所以可领取奖品的卡片数字为. 题型07 分段函数 【例7】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知则___________． 【答案】 【详解】由题设可得，故， 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【答案】 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 【变式7-2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）若，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴ 由得，，①或② 不等式组①无解； 不等式组②的解集为 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-3】已知为实数，用表示不大于的最大整数.对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”.若函数是“函数”，则实数的取值范围是__________. 【答案】，且. 【详解】且，使，， 且， 所以能成立，即能成立，则，又， 所以. 若，则，舍去； 若，则， 此时，即； 若，则， 此时，即； 若，则，与题设矛盾； 若，则，此时，即； 若，则，舍去. 综上，实数的取值范围是，且. 故答案为：，且. 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】选项A，，定义域， ，且真数， 定义域相同，对应法则相同，是相同函数，A选项正确； 选项B，，定义域为定义域为R， 定义域不同，不是相同函数，B选项错误； 选项C，， 当时，对应法则不同，不是相同函数，C选项错误； 选项D，定义域为定义域为R， 定义域不同，不是相同函数，D选项错误． 故选：A 4．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 5．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 【答案】 【详解】因为，且，则. 故答案为：2. 6．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的定义域为___________． 【答案】 【详解】根据题意，， 则， 解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 9．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【详解】令，得， 且由题意知，则 故， ∴． 故答案为： 10．已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域） 【答案】 【详解】解：根据题意得， 由三角形两边之和大于第三边得， 所以，即， 又因为，解得 所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为 故答案为： 11．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）有一个加密函数，26个子母组成的集合，其中A=1、B=2…Z=26，例：APPLE加密后为NCCYR（代入后以f (x)值为新内容），则YBIR加密前的形式______ 【答案】LOVE 【详解】因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，得， 当时，得, 所以YBIR加密前的形式为LOVE. 故答案为：LOVE. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，则 或 解得或 所以使成立的的取值范围是. 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 15．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. (1)若全集为，求： (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）对于函数,由,得, 得, 若全集为，则. （2）对于函数,由, 得, 得, 若,则,得, 得实数的取值范围为： 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）定义一种运算，设，，则使最大值为4的______. 【答案】3或-3 【详解】由，得在上的最大值为6， 且由，解得或，所以当时，， 所以要使函数最大值为4， 则根据定义可知的图象与的图象的交点的纵坐标的较大者为4， 如图所示： 当时，得当时，，此时解得； 当时，得当时，，此时解得； 故或. 故答案为：或 3．（25-26高一上·上海·开学考试）小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 【答案】 【详解】令， 则 ，其中， 所以为常数，其中 由图表知， 则， ， 由此可知错误，由，得到. 4．（25-26高一上·上海虹口·期末）用表示实数中较大的数，表示实数中较小的数．已知函数满足：对任意的实数，都有，则的值为___________． 【答案】35 【详解】令，则. 所以. 所以. 所以. 故答案为：35 5．（25-26高一下·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 【答案】 【详解】因为，所以或1， 设存在三个点、、，使得为等边三角形， 则不同时为0或1， 不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，， 综上所述，存在这样的点，该正三角形的面积为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为．若对任意，的值为数字在中出现的次数，则 ___________． 【答案】2023 【详解】由题意得，，，且， 又由数字在中出现次，则， 两式相减得，，所以， 即（）. 设且，定义：为集合中元素的个数. 则（），由于，， 则对任意 ，有. 因为数字在中出现次， 所以数字至少出现一次，即. ①若，代入（）可得， 由于各项均为非负整数，所以只能存在唯一的使得，其余都为 ， 所以只能是，， 故，由总和条件，解得， 此时，由，数字共出现次， 但，，，且当且时，， 可知数字出现次，即，这与产生矛盾； 即； ②若，此时且，记集合， 由（）式可得，（）， （i）若，则，且，其余，， 由于，若，则，矛盾； 若，则由，解得， 由非负整数，则整除，则，从而， 则由总和条件，解得. 验证：由当，， 即数字出现次，这与矛盾. (ii)若，因为，由， 则，又，所以有. 则由（）式可得， 若，则， 解得，这与矛盾，故. 由（）式可得，，则. 若，则，产生矛盾； 因此，即有且仅有一个元素，记该元素为， 由可知，由得，， 因此，且， 代入总和条件得， 则，可知， 则数字应出现次，由，可知出现次数， 若，且，则存在且，使得， 则数字应出现次，但， 故存在且，满足，由于，有， 但，所以只能为或， 这与矛盾，因此， 代入式子得，，解得， 所以，其余（）. 验证：由，， 可知数字出现共次，即； 数字出现次，；数字出现次，； 数字出现次，； 其他数字（）均出现次，故，所有条件满足. 综上所述，. 故答案为：2023． 7．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知在上的非严格递增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则m的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，即， 则对任意正整数，有， 所以对任意正整数，有， 因为，则有： 1.当时，则， 可得，不成立； 2.当时，则， 可得， 则， 3.当时，则， 可得，不成立； 4.当时，则， 可得， 则. 5.当时，则， 可得，不成立； 综上可知，函数需要存在满足，或存在满足. ①证明：若存在满足，则. 假设，则， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 假设，则， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 故； 下面举例说明当时，存在函数及满足题意. 例：当时， 令函数，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； ②证明：若存在，满足，则， 假设，则，， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 假设，则，， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 故； 下面举例说明当时，存在函数及满足题意. 例：当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期中）定义区间、、和的长度都为，多个互不相交的区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，数学上，常用表示不大于的最大整数，记，其中，设，.若用、、分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，______. 【答案】2023 【详解】，， （ⅰ）由，得到，即， 当时，，上式可化为，此时； 当时，，上式可化为，此时； 当时，，上式可化为，此时； ∴在的解集为，即； （ⅱ）由，得到，即， 当时，，上式化为，此时， 当时，，上式化为，此时， 当时，可得，上式可化为，此时， ∴在的解集为，即； （ⅲ）由，得到，即， 当时，，上式可化为，此时， 当时，，上式化为，此时， 当时，，上式化为，此时， ∴在时的解集为，即， 则. 故答案为：2023. 9．（25-26高一上·上海虹口·期末）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【详解】(1)互为“友谊函数对”，理由见如下： 因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. (2)若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 10．（24-25高一上·上海·期末）对函数，若满足，则称与对易； (1)已知，判断以下函数是否与对易：①；②；③（直接写出结果）； (2)已知； ①若且与对易，求； ②问：共有多少种不同的集合，同时满足①是的子集且的元素个数大于或等于100；②中任意两个元素均对易. 【详解】（1）对于①与不对易，因，显然； 对于②与不对易，因，显然； 对于③与对易，因，即. （2）① 设，则 ，由于，故得， 解得，因，当时，函数； ② 集合中的函数形式为，，其中， 由，， 则，当两函数对易的条件是且时，该等式恒成立， 即形如的函数与自身对易.由于与都有101种取值.因此，集合中共有个函数. 满足条件的集合的元素个数大于等于100，且任意两个元素均对易，因此中的元素只能是自身对易的函数. 因此，满足条件的集合的数量为从个函数中选取100个到个的方案数之和，即. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数 教学目标 1.能准确复述函数的概念，说出函数三要素（定义域、对应关系、值域），并能判断两个函数是否相同。 2.能识别并说明函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法）及其适用情境，能根据实际情境选择合适的表示方式。 教学重难点 教学重点 会求常见函数的定义域，掌握分式、偶次根式、零指数幂等限制条件的处理规则；能借助解析式或图象求简单函数的值域。 教学难点 理解抽象函数符号 的含义，会求 、 等具体函数值，能正确处理 与 的区别。 知识点01 函数的概念 1. 函数的定义 设 、 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 叫自变量， 的取值范围 叫定义域； 与 对应的 叫函数值，函数值的集合 叫值域，值域是 的子集。 两个关键：“任意”（定义域中每个元素都要有对应）与“唯一”（一个 只能对应一个 ）。这两点是判断对应关系是否为函数的核心依据。 2. 函数的三要素 要素 含义 注意点 定义域 自变量 的取值集合 优先确定，常由解析式有意义与实际意义共同决定 对应关系 与 的对应法则 可用解析式、表格、图像表示 值域 所有函数值组成的集合 由定义域和对应关系共同决定 判断两个函数是否相同：定义域相同 且 对应关系相同（与自变量用什么字母表示无关）。例如 与 是同一函数； 与 不是同一函数（对应关系不同）。 3. 求定义域的常见类型 分式：分母不为零，如 ，定义域为 。 偶次根式：被开方数非负，如 ，定义域为 。 零次幂：底数不为零，如 。 实际问题：结合变量的实际意义，如边长为正、人数为整数等。 复合型：多个条件同时满足，取各条件对应集合的交集。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 知识点02 函数的表示方法 解析法：用式子表示，便于计算与推理； 列表法：用表格列出对应值，直观但通常只能表示有限个对应； 图像法：用图形表示，能直观反映变化趋势。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 知识点03 分段函数 在定义域的不同部分有不同对应关系的函数叫分段函数。它是一个函数，不是几个函数。 求分段函数的函数值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应表达式； 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 【即学即练】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 题型01 函数概念辨析 【例1】（25-26高一上·上海·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C．D． 【变式1-3】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 判断两个函数是否相同 【例2】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03 求函数的定义域 【例3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【变式3-1】（26-27高一上·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【变式3-3】（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 题型04 求函数值 【例4】（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 【变式4-2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则_________． 题型05 求值域 【例5】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【变式5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 【变式5-2】函数的值域为_________. 【变式5-3】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，设定义在上，且满足的函数的值域为A，若集合，则a的取值范围是________． 题型06 解析法、图象法、列表法表示函数 【例6-1】下列表示函数，则________． x y 2 3 4 5 【例6-2】游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A． B． C． D． 【例6-3】某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（   ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．） A．，； B．，； C．，； D．，. 【变式6-1】如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【变式6-3】（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）我校校园文化节即将到来，高一年级将开展“数字配对”的抽奖活动，活动规则如下：每人可以抽取一张卡片，每张卡片上都印有一个不小于且不大于10的整数，其中不含．每张卡片数字对应一个抽奖号码，卡片上的数字减去所得的差，与抽奖号码减去所得的差，两者的乘积等于12． (1)记卡片上的数字为，卡片数字对应的抽奖号码为，请用含有卡片数字的式子来表示抽奖号码； (2)当抽奖号码不小于且不大于时，抽奖者可以领取奖品．请问抽到哪些数字的卡片可以领取奖品？请写出满足领取奖品的卡片数字所组成的集合． 题型07 分段函数 【例7】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知则___________． 【变式7-1】（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【变式7-2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）若，则不等式的解集为________． 【变式7-3】已知为实数，用表示不大于的最大整数.对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”.若函数是“函数”，则实数的取值范围是__________. 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 6．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的定义域为___________． 8．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 9．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，则______． 10．已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域） 11．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）有一个加密函数，26个子母组成的集合，其中A=1、B=2…Z=26，例：APPLE加密后为NCCYR（代入后以f (x)值为新内容），则YBIR加密前的形式______ 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 14．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 15．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. (1)若全集为，求： (2)若，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）定义一种运算，设，，则使最大值为4的______. 3．（25-26高一上·上海·开学考试）小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 4．（25-26高一上·上海虹口·期末）用表示实数中较大的数，表示实数中较小的数．已知函数满足：对任意的实数，都有，则的值为___________． 5．（25-26高一下·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 6．（25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为．若对任意，的值为数字在中出现的次数，则 ___________． 7．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知在上的非严格递增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则m的取值范围是______. 8．（25-26高一上·上海·期中）定义区间、、和的长度都为，多个互不相交的区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，数学上，常用表示不大于的最大整数，记，其中，设，.若用、、分别表示不等式、方程、不等式解集区间的长度，则当时，______. 9．（25-26高一上·上海虹口·期末）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 10．（24-25高一上·上海·期末）对函数，若满足，则称与对易； (1)已知，判断以下函数是否与对易：①；②；③（直接写出结果）； (2)已知； ①若且与对易，求； ②问：共有多少种不同的集合，同时满足①是的子集且的元素个数大于或等于100；②中任意两个元素均对易. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $