专题六 第三讲 2 最值与范围问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第2课时　最值与范围问题 考点一 最值问题 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解：(1)抛物线C的焦点为F(0，) ， |FM|＝＋4， 所以F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为 ＋4－1＝4，解得p＝2. (2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝， 对该函数求导得y′＝， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 直线PA的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝－y1，即x1x－2y1－2y＝0， 同理可知，直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0， 由于点P为这两条直线的公共点， 则 所以点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0， 所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0， 联立可得x2－2x0x＋4y0＝0， 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 点P到直线AB的距离为d＝， 所以S△PAB＝|AB|d ＝·＝(x－4y0)， ∵x－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y－12y0－15 ＝－(y0＋6)2＋21， 由已知可得－5≤y0≤－3， 所以当y0＝－5时，△PAB的面积取最大值为×20＝20. 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． (2022·山东淄博一模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程． 解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2， 则F1(－2, 0)，F2(2, 0)， 由椭圆的定义可得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2， 得a＝，所以b＝＝， 因此，椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1, y1)，B(x2, y2)， 设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立消去x可得 (m2＋3)y2＋4my－2＝0， Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0， 由根与系数的关系可得 y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△F1AB＝|F1F2||y1－y2| ＝2 ＝2＝， 令t＝＞1， 则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立，△F1AB的面积最大，此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 考点二 范围问题 (2022·广东茂名一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1, 0)，且过点(1，). (1)求椭圆C的方程； (2)过F1且互相垂直的两条直线l1，l2分别交椭圆C于A，B两点和 M，N两点，求|AB|＋|MN|的取值范围． 解：(1)由题意可得，c＝1. 又由得a＝2，b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l1垂直x轴时， |AB|＝＝3，|MN|＝2a＝4， 所以|AB|＋|MN|＝7. 同理，当直线l2垂直x轴时，|AB|＋|MN|＝7. 当l1，l2均不垂直x轴时， 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2), 联立得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝(8k2)2－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)＞0， 由根与系数的关系得 x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝， 因为l1与l2互相垂直， ∴|MN|＝＝， ∴|AB|＋|MN|＝＋ ＝＝7(1－) ＝7(1－). 由|AB|＋|MN|＝7(1－)≥，当且仅当k＝±1时，等号成立， 所以≤|AB|＋|MN|＜7. 综上，|AB|＋|MN|的取值范围为. 范围问题的解题策略 求解有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有： (1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围(如本例)； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； (5)利用函数值域的求法，确定所求范围； (6)利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围． (2022·山东淄博一中模