专题六 第三讲 1 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第三讲　解析几何(大题) 第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系问题 1．直线与圆锥曲线相交时的弦长 斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1, y1)，B(x2, y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 2．求解直线与圆锥曲线基本问题的方法 直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想、化归思想及数形结合思想，着重考查数学运算及逻辑推理能力，其解法一般是： (1)设直线方程，在直线斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x＝my＋b的形式； (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系． (2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：设直线l：y＝x＋t， A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F(，0) ， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝， 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－. 所以直线l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3， 代入抛物线C的方程得x1＝3，x2＝ . 故|AB|＝. 解决直线与椭圆综合问题的注意点 (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题； (3)涉及直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． (2022·安徽合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上 (1)若线段AB的中点为(1，－1)，求直线AB的方程； (2)若F恰好是△ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，求点P的坐标． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 由得＝－， 即＝－， ∴kAB＝＝－·＝， ∴直线AB的方程为y＋1＝(x－1)， 即3x－4y－7＝0. (2)由椭圆方程知F(1，0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)， ∵F恰好是△ABP的重心， ∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3， ∵|AF|＝ ＝ ＝＝2－， 同理可得|BF|＝2－，|PF|＝2－， 又|AF|，|PF|，|BF|成等差数列， ∴2|PF|＝|AF|＋|BF|＝4－＝4－x3， 整理可得x1＋x2＝2x3， ∴x1＋x2＋x3＝3x3＝3，解得x3＝1， 将x3＝1代入椭圆方程得y＝3－x＝，解得y3＝±， ∴P点坐标为(1，－)或(1，). 考点二 与圆锥曲线有关的证明问题 (2022·广东肇庆二模)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P(， 0)，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. (1)解：如图， 设圆E的圆心E(x, y)，半径为r， 则|EM|＝r＋，|EN|＝r－， 所以|EM|－|EN|＝2<|MN|. 由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线右支， 所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥. (2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)， 直线l的方程为x＝my＋2， 由于直线l与曲线C交于两点，故－＜m＜， 又所以(m2－3)y2＋4my＋1＝0， 故 又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0, ＋＝＋ ＝2m＋·＝2m＋·＝0， 即kAP＋kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN，得证． 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). (2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． (2022·河北邯郸一模)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交抛物线C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4. (1)求抛