专题六 第三讲 3 定点、定值与存在性问题（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第3课时　定点、定值与存在性问题 考点一 定点与存在性问题 1．圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，是高考重点考查的考点和热点之一．其实质是当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动． 2．探究性问题是高考命题的热点内容，往往与证明问题结合考查. 圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，有时与探究性问题综合，一般先假设结论成立，再进行论证． (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． (1)解：∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞0)， 又椭圆E过B(，－1)，∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. (2)证明：当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1， 由得y2＝，∴y＝±. 结合题意可知M(1，－)，N(1，)， ∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－. 易知点T的横坐标xT∈， 直线AB的方程为y－(－2)＝×(x－0)， 即y＝x－2， 由得xT＝3－，∴T(3－，－). ∵＝，∴H(5－2，－)， lHN：y－＝(x－1)， 即y＝x－2.过定点(0，－2). 当直线MN的斜率存在时，如图， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋m(k＋m＝－2). 由得 (3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ＞0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1， 与直线AB的方程联立， 得得xT＝， ∴T(，y1). ∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)， lHN：y－y2＝(x－x2)， 即y＝x＋y2－·x2. 令x＝0，得 y＝y2－ ＝ ＝. ∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m) ＝k(x1＋x2)＋2m＝， x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m) ＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝， ∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝＋ ＝＝， －(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)＝＋6＋ ＝＝， ∴y＝＝－2， ∴直线HN过定点(0，－2). 综上，直线HN过定点(0，－2). 直线过定点问题的解题模型 (2022·山东烟台一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，依次连接椭圆C的四个顶点所得菱形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A(－2, 0)，直线l：y＝kx＋m与C交于P，Q两点，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由． 解：(1)由已知e＝＝， 连接C的顶点所得四边形面积为2ab＝4， 又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，联立 消y可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 则有Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0， 即4k2－m2＋1＞0， x1＋x2＝，x1x2＝， 因为AP⊥AQ， 所以·＝0， 而＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)， 故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝k2()＋km()＋m2＝， 故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 ＝－＋4＋ ＝＝0， 解得m＝2k或m＝k， 当m＝2k时，直线l方程为y＝k(x＋2)，过点A，不满足题意， 当m＝k时，代入4k2－m2＋1＝4k2－k2＋1＝k2＋1＞0， 故直线l方程为y＝k(x＋)，过定点(－，0). 考点二 定值与存在性问题 圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，也是高考重点考查的考点和热点之一. 其求解步骤一般为 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等． 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以). 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． (2022·陕西西安二模)已知定点F(0, 1)，定