专题五 第二讲 不等式选讲（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第二讲　不等式选讲 本讲内容为高考选考必考内容之一，考题难度中低档，以解答题形式出现在试卷的第23题位置．高考对本讲的考查主要有以下两个方面： (1)绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点； (2)绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合． 考点一 绝对值不等式的解法 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集． 解：(1)由题设知f(x)＝ 画出y＝f(x)的图象如图(1)所示． (2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象，如图(2)所示． 易得y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为(－，－). 由图象可知，当且仅当x＜－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方． 故不等式f(x)＞f(x＋1)的解集为(－∞，－). 绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a＞0，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>A． (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 已知函数f(x)＝|2x＋3|. (1)解不等式f(x)＋f(x－3)≤8； (2)已知关于x的不等式f(x)＋|x＋a|≤x＋5，在x∈[－1，1]上有解，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＋f(x－3)＝|2x＋3|＋|2x－3|， 当x≤－时，－2x－3＋3－2x＝－4x≤8，解得x≥－2， ∴－2≤x≤－； 当－＜x＜时，2x＋3＋3－2x＝6＜8， ∴－＜x＜； 当x≥时，2x＋3＋2x－3＝4x≤8，解得x≤2，∴≤x≤2； 综上所述：f(x)＋f(x－3)≤8的解集为[－2，2]. (2)当x∈[－1，1]时，f(x)＝2x＋3， 则f(x)＋|x＋a|≤x＋5可化为|x＋a|≤－x＋2， 即x－2≤x＋a≤2－x， ∴－2≤a≤2－2x在[－1，1]上有解，又(2－2x)max＝4， ∴－2≤a≤4，即实数a的取值范围为[－2，4]. 考点二 不等式的证明 (2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 证明：(1)方法一　因为a2＋b2＋4c2＝3， 所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号， 所以(a＋b＋2c)2≤3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9. 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. 方法二　因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号． 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. 方法三　根据权方和不等式可得≤＋＋＝3(当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号)， 所以(a＋b＋2c)2≤9. 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. (2)因为b＝2c，所以根据(1)有a＋4c≤3. ＋＝≥ ＝≥(5＋2)＝3， 当且仅当a＝b＝2c＝1时取得等号． 证明不等式的常用方法 (1)如果已知条件与待证结论的直接联系不明显，则考虑用分析法． (2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把不等式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的． (3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾． (2022·贵州贵阳模拟)已知正数a，b，c，d满足a2＋b2＋c2＋d2＝1，证明： (1)0＜ac＋bd≤； (2)＋＋＋≥36. 证明：(1)因为a2＋c2≥2ac，b2＋d2≥2bd， 所以a2＋b2＋c2＋d2≥2ac＋2bd， 当且仅当a＝b＝c＝d＝时，等号成立， 又正数a，b，c，d满足a2＋b2＋c2＋d2＝1， 所以0＜ac＋bd≤. (2)因为正数a，b，c，d满足a2＋b2＋c2＋d2＝1， 所以由柯西不等式，可得＋＋＋ ＝(a2＋b2＋c2＋d2)(＋＋＋) ≥(＋＋＋)2＝36， 当且仅当a＝b＝，c＝d＝时，等号成立， 故＋