专题五 第一讲 坐标系与参数方程（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

专题五　选考部分 第一讲　坐标系与参数方程 本讲内容为高考选考必考内容之一，考题难度中低档，以解答题形式出现在试卷的第22题位置．高考对本讲的考查主要有以下两方面： (1)参数方程、极坐标与曲线的关系； (2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等，考查知识点较为简单和稳定． 考点一 极坐标方程及其应用 (2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 解：(1)由⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1，得圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1， 则⊙C的一个参数方程为(α为参数). (2)易知两条切线的斜率均存在． 设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0. 由直线与圆相切得圆心(2，1)到切线的距离为1，得＝1， ∴3k2＝1，∴k＝±. ∴切线l1的直角坐标方程为y＝(x－4)＋1， 切线l2的直角坐标方程为y＝－(x－4)＋1. 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得切线l1的极坐标方程为ρcos θ－3ρsin θ－4＋3＝0， 切线l2的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－4－3＝0. 1．求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键． 2．解决极坐标交点问题的一般思路 (1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标； (2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标． (2022·四川泸州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(θ为参数)，直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C和直线l的极坐标方程； (2)点P在直线l上，射线OP交曲线C于点R，点Q在射线OP上，且满足2|OR|2＝9|OP||OQ|，求点Q的轨迹的直角坐标方程． 解：(1)曲线C：(θ为参数)， ∴曲线C的普通方程为＋＝1. ∴曲线C的极坐标方程为＋＝1， 即ρ2＝， ∵直线l：x＝2＋t y＝4－2t(t为参数)， ∴直线l：2x＋y－8＝0， ∴直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－8＝0. (2)设点Q的极坐标为Q(ρ，θ)， 则|OR|2＝，|OP|＝， 故代入2|OR|2＝9|OP||OQ|， 得＝·ρ， 即ρ2＝， 所以点Q的轨迹的直角坐标方程为9x2＋4y2＝2x＋y. 考点二 参数方程及其应用 (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率． 解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1. 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cosα＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2. 参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用 (1)参数方程化为普通方程消去参数的方法 ①代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法． ②三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法． (2)常见消参数的关系式： ①t·＝1； ②(t＋)2－(t－)2＝4； ③()2＋()2＝1. (3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． (2022·贵州贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (m为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数). (1)求直线l和曲线C的普通方程； (2)已知点P(0, 1)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求＋的值． 解：(1)由题意可得直线l的普通方程为x－y＋＝0. 对于曲线C，因为(t为参数)， 所以x2－y2＝(t＋)2－(t－)2＝4， 所以曲线C的普