专题四 第一讲 空间几何体与空间位置关系(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第一讲　空间几何体与空间位置关系(小题) 考点一 空间几何体的三视图与直观图 1．(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　B　) A．8　　　　　　　　　 B．12 C．16 D．20 解析：三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝×(2＋4)×2×2＝12. 2．(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A­EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　D　) 解析：依题意以及几何体的正视图，画出几何体的直观图如图(1)，所以可得相应的侧视图如图(2). 3．(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤(或③④)．(写出符合要求的一组答案即可) 解析：根据三视图“高平齐”的原则，即正视图与侧视图的高相等，可得侧视图只能从题图②和题图③中选择，则俯视图只能从题图④和题图⑤中选择．若选题图②⑤，则三棱锥的直观图如图(1)，可知题图③为侧视图，题图⑤为俯视图这一情况不存在；若选题图③④，则三棱锥的直观图如图(2)，可知题图②为侧视图，题图④为俯视图这一情况不存在． 1．由三视图还原直观图需遵循以下三步 (1)看视图明关系； (2)分部分想整体； (3)合起来定整体． 2．解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法：把立体图形展为平面图形，利用两点之间线段最短进行求解． 考点二 空间几何体的表面积与体积 1．柱体的表面积和体积 S柱体＝2S底面＋S侧面，V柱体＝Sh(S为底面积，h为高) 2．锥体的表面积和体积 S锥体＝S底面＋S侧面，V锥体＝Sh(S为底面积，h为高) 3．台体的表面积和体积 S台体＝S上底＋S下底＋S侧面，V台体＝ h(S＋ ＋S′)(其中S，S′为台体的上、下底面面积，h为高) 4．球的表面积和体积 S球＝4πR2(R为球的半径)，V球＝πR3(R为球的半径) 考向一　空间几何体的表面积 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　B　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π× ，解得l＝2，所以该圆锥的母线长为2. 2．(2022·山西运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝ O′B′＝2，O′C′＝，则该几何体的表面积为(　C　) A．36＋12 B．24＋8 C．24＋12 D．36＋8 解析：由俯视图的直观图，可得几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是4，由主视图和左视图知：该几何体是三棱锥，如图所示： 其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC 都是直角三角形，且S△SAB＝S△SAC＝×SA×AB＝×6×4＝12，△SCB是腰长为2，底边长为4的等腰三角形，面积为×4×＝8，所以该三棱锥的表面积为24＋12. 3．(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　A　) A．64π B．48π C．36π D．32π 解析：如图， 设圆O1的半径为r，球O的半径为R， 正三角形ABC的边长为A． 由πr2＝4π得r＝2， 则a＝2，解得a＝2，OO1＝a＝2. 在Rt△OO1A中， 由勾股定理得R2＝r2＋OO＝22＋(2 )2＝16， 所以S球O＝4πR2＝4π×16＝64π. 即球O的表面积为64π. 求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积． 考向二　空间几何体的体积 1. (2021·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　A　) A． B．3 C． D．3 解析：如图，该几何体的直观图是一个以等腰梯形为底面的直四棱柱ABCD ­A′B′C′D′. 过点C′作C′E⊥A′D′，垂足为E，则C′E＝. 所以V四棱柱ABCD­A′B′C′D′＝(B′C′＋A′D′)·C′E·BB′ ＝×(＋2