专题四 第二讲 立体几何(大题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第二讲　立体几何(大题) 考点一 空间位置关系与计算问题 (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). (1)证明：如图，分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，FN，MN， ∵△EAB与△FBC均为正三角形，且边长均为8， ∴EM⊥AB，FN⊥BC，且EM＝FN. 又平面EAB与平面FBC均垂直于平面ABCD， 平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM⊂平面EAB，FN⊂平面FBC， ∴EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD， ∴EM∥FN，∴四边形EMNF为平行四边形，∴EF∥MN. 又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD． (2)解：如图，分别取AD，DC的中点P，Q，连接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD． 由(1)知EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，同理可证得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝4，EM∥FN∥GQ∥HP. 易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，所以PM⊥MN， 又PM＝QN＝MN＝PQ＝BD＝4，所以四边形PMNQ是正方形，所以四棱柱PMNQ­HEFG为正四棱柱， 所以V四棱柱PMNQ­HEFG＝(4)2×4＝128. 因为AC⊥BD，BD∥PM，所以AC⊥PM. 因为EM⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EM⊥AC． 又EM，PM⊂平面PMEH，且EM∩PM＝M，所以AC⊥平面PMEH， 则点A到平面PMEH的距离d＝AC＝2， 所以V四棱锥A­PMEH＝S四边形PMEH×d＝×4×4×2＝， 所以该包装盒的容积V＝V四棱柱PMNQ­HEFG＋4V四棱锥A­PMEH＝128＋4×＝(cm3). 空间位置关系的证明与求几何体的有关计算的综合问题的模型 (2022·安徽合肥模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB． (1)证明：平面PBD⊥平面PAC； (2)点M在平面PBD内，直线AM⊥平面PBD，求四棱锥M­ABCD的体积． (1)证明：连接AC交BD于点O， ∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD， 又∵AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC． (2)解：连接PO，过A作AN⊥PO交PO于点N， 因为平面PBD⊥平面PAC， 平面PBD∩平面PAC＝PO，PO⊂平面PAC， 所以AN⊥平面PBD，所以M，N重合， 因为在△AOM与△POA中，∠ANO＝∠PAO，∠AON＝∠AOP，所以△AOM∽△POA，所以＝， 又AO＝，PA＝1，PO＝， 所以OM＝，所以＝， ∴点M到底面ABCD的距离为， 又S正方形ABCD＝1，∴V四棱锥M­ABCD＝×1×＝. 考点二 立体几何中的折叠问题 (2022·陕西西安三模)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示，且∠DEA＝60°，点M在线段AB上(包含端点)运动，连接AD． (1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC； (2)点H为AE的中点，求证：DH⊥平面ABFE. (1)解：因为直线MF⊂平面ABFE， 故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内， 所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上 ， 证明如下：延长EA，FM交于点O，连接OD，如图所示，因为AO∥BF，M为AB的中点， 所以△OAM≌△FBM， 所以OM＝MF，AO＝BF＝2， 故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2， 连接DF，交CE于点N，连接MN， ∵M为OF中点，N为DF中点，∴MN∥OD， 又OD⊄平面EMC，MN⊂平面EMC， ∴OD∥平面EMC． (2)证明：如图，由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE， 又EA∩DE＝E，EA，DE⊂平面ADE， 所以EF⊥平面ADE，且∠DEA＝60°，EF⊂平面ABFE， 所以平面ABFE⊥平面ADE， 因为∠DEA＝60°，DE＝AE， 所以△ADE为等边三角形，则DH⊥AE， 而平面ABFE⊥平面ADE， 平面ABFE∩平面ADE＝AE，DH⊂平面ADE， 所以DH⊥平面ABFE. 求解平面图形折叠问题的关键和方法 (1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪