专题二 第一讲 三角函数的图象和性质(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第一讲　三角函数的图象和性质(小题) 考点一 三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系 1．设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 2．(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). (2)商数关系：tanα＝. 3．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 1．(2022·山东济南二模)如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于(　C　) A．　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：由题意得P(1，－)， 它与原点的距离r＝＝2， 所以sin α＝＝＝－. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　C　) A．－ B．－ C． D． 解析：原式＝ ＝＝sin2θ＋sinθcos θ ＝＝＝＝. 3．(2021·全国甲卷)若α∈(0，)，tan2α＝，则tan α＝(　A　) A． B． C． D． 解析：因为tan 2α＝＝， 所以cosα－＝2(2－sin α)， 即＝， 所以sin α＝.又α∈(0，)， 所以cos α＝，所以tan α＝. 1．利用公式进行化简求值的策略 (1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定． (2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 2．使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号． 考点二 三角函数的图象与变换 1．“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得． 2. 图象变换： 3．函数y＝A sin (ωx＋φ)解析式的确定 利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ. 1．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin (3x＋)图象上所有的点(　D　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：因为y＝2sin ＝2sin ，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 的图象上所有的点向右平移个单位长度． 2．(2022·全国甲卷文)将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　C　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：记曲线C的函数解析式为g(x)， 则g(x)＝sin ＝sin . 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z). 因为ω＞0，所以ωmin＝. (1)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． (2)用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π. 考点三 三角函数的性质 求解函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． ①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　A　) A．(0，)　　　　　B．(，π) C．(π，) D．(，2π) 解析：当函数f(x)＝7sin (x－)单调递增时，－＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得－＜x＜.因为(0，)⊆(－，)，所以(0，)是函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间． 2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜