专题二 第三讲 三角函数与解三角形(大题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第三讲　三角函数与解三角形(大题) 考点一 三角函数的图象与性质 (2022·山东师范大学附中模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx－)－1(ω>0)，且f(x－π)＝f(x). (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)在上的最值及其对应的x的值． 解：(1)∵f(x－π)＝f(x)，∴T＝π， ∴T＝＝π，∴|ω|＝2， 又∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin (2x－)－1， ∵－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). (2)∵0≤x≤，∴0≤2x≤π， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin (2x－)≤1，∴－1≤2sin (2x－)≤2， ∴－2≤2sin (2x－)－1≤1， ∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－2， 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1. 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式． (2)把“ωx＋φ”看作一个整体，借助复合函数的性质求其单调性、奇偶性、最值、对称性等问题． (2022·福建泉州二模)已知函数f(x)＝x－a sin x的图象在点(0, f(0))处的切线方程为y＝－x. (1)求a； (2)求f(x)在[0, 2π]内的单调区间． 解：(1)对函数f(x)＝x－a sin x求导可得 f′(x)＝1－a cos x， f′(0)＝1－a cos 0＝1－a， 根据f(x)＝x－a sin x的图象在(0, f(0))处的切线方程为y＝－x，则有1－a＝－1，解得a＝2. (2)由(1)可得f′(x)＝1－2cos x，且x∈[0, 2π]， 由f′(x)＝0，解得x＝或x＝. 当0＜x＜或＜x＜2π时， f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当＜x＜时，f′(x)>0，则f(x)单调递增． 综上可得，f(x)的单调递减区间为(0，)，(，2π)， 单调递增区间为(，). 考点二 利用正、余弦定理进行边、角计算 (2022·全国乙卷理)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． (1)证明：解法一　由sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)可得，sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A， 结合正弦定理＝＝， 可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C， 即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A．(*) 方法一　由余弦定理可知ac cos B＝， ab cos C＝，2bc cos A＝b2＋c2－a2， 代入(*)式整理得2a2＝b2＋c2. 方法二　利用三角形的射影定理，得 ac cos B＋ab cos C＝a(c cos B＋b cos C)＝a2， 又2bc cos A＝b2＋c2－a2， 所以a2＝b2＋c2－a2，所以2a2＝b2＋c2. 解法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin C sin (A－B) ＝sin (A＋B)sin (A－B) ＝sin2A cos2B－cos2A sin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sinB sin (C－A)＝sin (C＋A)sin (C－A)＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)解：由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cosA得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． (2022·重庆第一次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＝(sinC－sin Asin B)sin C． (1)求C； (2)若c＝2，a＝3b，点D在边AB上，且∠ACD＝∠BCD，求CD的长． 解：(1)由已