专题二 第二讲 三角恒等变换与解三角形(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第二讲　三角恒等变换与解三角形(小题) 考点一 三角恒等变换 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 1．(2021·全国乙卷文)cos2－cos2＝(　D　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：因为＋＝， 所以cos＝cos (－)＝sin ， 所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝. 2．(2022·福建漳州一模)已知＝，则sin(α－)＝(　C　) A． B．－ C．－ D． 解析：由＝， 得＝， 所以sin (α－)＝－. 3．(2022·湖北恩施期末)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　C　) A． B．－ C．－ D．－或 解析：因tan α＝，tan β＝－， 则tan 2α＝＝＝， tan(2α－β)＝＝＝1， 因α，β∈(0，π)，tan α＞0，tan β＜0， 则0＜α＜，＜β＜π， 又tan 2α＞0，有0＜2α＜，于是得－π＜2α－β＜0， 因此2α－β＝－. 4．(2022·江苏徐州模拟)古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示．若实数n满足4sin218°＋n2＝4，则＝(　A　) A． B． C． D． 解析：根据题中的条件可得 ＝ ＝＝ ＝＝＝. 三角函数式的化简方法及基本思路 (1)化简方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等． (2)化简基本思路 “一角二名三结构”，即： 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式； 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin αcos α的齐次分式化切等； 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等． 考点二 解三角形 正、余弦定理、三角形面积公式 (1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． (2)a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，a2＋c2－b2＝2ac cos B， a2＋b2－c2＝2ab cos C． (3)S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　D　) A．1　　　　　　　 B． C． D．3 解析：由余弦定理得， cos 120°＝. 化简得，BC2＋2BC－15＝0， 解得BC＝3或BC＝－5(舍去). 2．(2022·江苏南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B＝a，则这个三角形的形状为(　A　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：因为c cos B＝a， 所以由余弦定理可得c·＝a， 即a2＋c2－b2＝2a2，所以c2＝a2＋b2， 所以三角形的形状为直角三角形． 3．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__2__． 解析：由题意，得S△ABC＝ac sin B＝， 即ac·＝，解得ac＝4. 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3ac－2ac·＝8，解得b＝2(负值已舍去). 4．(2022·湖南雅礼中学模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A＝60°，B＝45°，若将六个和△ABC全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为S1，设阴影部分面积为S2，则＝__6＋3__． 解析：因为A＝60°，B＝45°，则C＝75°， 所以sin C＝sin 75°＝sin (45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， 面积比为相似