专题一 第一讲 等差、等比数列的基本运算(小题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第一讲　等差、等比数列的基本运算(小题) 考点一 等差、等比数列的基本运算 1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n, m∈N*). 2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝ amqn－m(n, m∈N*)． 3．等差数列前n项和公式： Sn＝＝na1＋D． 4．等比数列前n项和公式： Sn＝ 1．(2022·全国乙卷文)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　) A．14　　　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)， 由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3. 2．(2022·广东中山模拟)已知{an}为正项等比数列，且a2a4＝4，设Tn为该数列的前n项积，则T5＝(　C　) A．8 B．16 C．32 D．64 解析：因为{an}是正项等比数列， 所以a＝ a2a4＝4，a3＝2或a3＝－2(舍去)， T5＝a1a2a3a4a5＝a＝25＝32. 3. (2022·湖北荆州中学模拟)已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4＝a3＋5，则S9＝(　C　) A．35　　　B．40 C．45　　　D．50 解析：由2a4＝a3＋5，得2(a1＋3d)＝a1＋2d＋5， 即a1＋4d＝5，即a5＝5， 所以S9＝＝9a5＝9×5＝45. 4．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____25____． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1. 所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 等差(比)数列基本运算的解题途径 (1)设基本量a1和公差d(或公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 考点二 等差、等比数列的性质 1．等差数列的性质 (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (2)数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，其公差为n2d． 2．等比数列的性质 (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)当q≠－1(或q＝－1且n为奇数)时，数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，其公比为qn. 1．(2021·全国甲卷文)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　A　) A．7　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q，则由等比数列的前n项和公式得 ②÷①，得1＋q2＝， 解得q2＝.代入①得＝8. 所以S6＝＝·[1－(q2)3]＝8×(1－)＝7. 方法二　等比数列{an}的前n项和有如下的性质：S2，S4－S2，S6－S4，…成等比数列，且公比q′＝＝，则S6－S4＝(S4－S2)·q′＝(6－4)×＝1. 所以S6＝S2＋(S4－S2)＋(S6－S4)＝4＋2＋1＝7. 2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝(　D　) A．36 B．33 C．32 D．31 解析：设{an}的公比为q(q>0)， ∵a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4， ∴a3a4＝2a3，∴a4＝2. 又a4＋2a6＝3，∴a6＝，∴q＝，a1＝16， ∴S5＝＝31. 3．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，有下列四个命题： 甲：a18＝0；乙：S35＝0； 丙：a17－a19＝0；丁：S19－S16＝0. 如果只有一个是假命题，则该命题是(　C　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：设数列{an}的公差为d， 若S35＝0，则S35＝＝0， 即a18＝0；若a17－a19＝0， 所以－2d＝0，即d＝0； 若S19－S16＝ a17＋ a18＋a19＝0， 所以a18＝0. 又因为只有一个是假命题，所以丙是假命题． 等差、等比数列性质问题求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数性质解题． 考点三 数列的递推关系 1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．由数列的递推关系求数列通项公式，常见的方法有累加法、累乘法、待定系数法等． 1．(2022·江苏镇江模拟)已知数列{an}中a1＝1，a2＝