专题一 第二讲 数列(大题)（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

第二讲　数　列(大题) 考点一 等差、等比数列的证明 判定和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an(或)为与正整数n无关的某一常数． (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列； ②若a＝an－1·an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列． (2022·全国甲卷理)设Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)证明：由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①得，2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 判断数列是否为等差数列或等比数列的策略 (1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差、等比数列的定义进行判断． (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可． (2021·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列． 证明：设等差数列{}的公差为d′. 则d′＝－＝－ ＝－＝， ∴＝＋(n－1)d′＝＋(n－1)＝n， ∴Sn＝n2a1. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1. ∴an－an－1＝(2n－1)a1－[2(n－1)－1]a1＝2a1， ∴数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列． 考点二 等差、等比数列基本量的计算 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋＜2. (1)解：方法一　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以＝(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 整理得＝(n≥2)， 所以××…××＝××…××＝(n≥2)， 所以Sn＝(n≥2)， 又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝(n∈N*)， 则Sn－1＝(n≥2)， 所以an＝－＝(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝(n∈N*). 方法二　因为a1＝1，所以＝1， 又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝.所以Sn＝an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以an－1＝an(n≥2)， 所以＝(n≥2)， 所以××…××＝×××…××＝(n≥2)， 所以an＝(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 所以an＝(n∈N*). (2)证明：因为an＝， 所以＝＝2(－)， 所以＋＋…＋ ＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝2(1－)＜2. 等差、等比数列的基本量的求解策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等． (2022·山东济南历城二中模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝4n－2(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝an，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)由an＋an－1＝4n－2(n≥2)可化为 (an－2n)＋( an－1－2n＋2)＝0. 令cn＝an－2n，则cn＋cn－1＝0，即cn＝－cn－1. 因为a1＝2，所以c1＝a1－2＝0，所以cn＝0， 即an－2n＝0，故an＝2n. (2)由b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1)bn＝an， 可知b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n－1－1)bn－1＝an－1(n≥2)， 两式作差得(2n－1)bn＝an－an－1＝2(n≥2)， 即bn＝(n≥2). 又当n＝1时，b1＝a1＝2也满足上式， 故bn＝. 考点三 数列的求和问题 1．公式法：直接应用等差、等比数列的前n项和公式求和． 2．分