基础考点四 数学文化（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

基础考点四　数学文化 1．(2022·全国甲卷理)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　B　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝. 2. (2021·全国乙卷理)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　A　) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 解析：由平面相似可知，＝，＝，而DE＝FG，所以＝＝＝＝，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高． 3．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　C　) A． B． C． D． 解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h′，则由已知得h2＝ah′.如图，设O为正四棱锥S­ABCD底面的中心，E为BC的中点，则在Rt△SOE中，有h′2＝h2＋， ∴h′2＝ah′＋a2，∴－×－＝0，解得＝(负值舍去).则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为. 4．(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　C　) A．3 699块 　 B．3 474块 C．3 402块 　 D．3 339块 解析：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). 5．(全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　B　) A．1盏　　　　B．3盏　　　　C．5盏　　　　D．9盏 解析：由题意知，每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3，则塔的顶层共有灯3盏． 6．(全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：“积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　B　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析：设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×πr2×5＝××5≈(立方尺).故堆放的米约有÷1.62≈22(斛). 7. (2021·浙江卷)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则＝____25____． 解析：由题意可得，大正方形的边长为a＝＝5，则其面积为S1＝52＝25，小正方形的面积S2＝25－4×＝1，从而＝＝25. 8．(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱