基础考点三 不等式、线性规划、程序框图、推理与证明（Word教参）-【优化指导】2024年高考数学（文科）二轮复习高中总复习·第2轮（老教材）

基础考点三　不等式、线性规划、程序框图、推理与证明 题组一　不等式 1．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　C　) A．{x|－4<x<3}　　　　 B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 解析：由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}． 2．(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　C　) A．ln (a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b| 解析：方法一　不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确． 方法二　由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，则ln (a－b)>0不一定成立，故A不一定成立． 因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立． 因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立． 因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|， 所以D不一定成立． 3．(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为____4____． 解析：因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立．故＋＋的最小值为4. 4．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝__－1__． 解析：设BD＝k(k＞0)，则CD＝2k. 根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)， ∴≥4－＝4－2＝(－1)2， ∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 题组二　线性规划 1．(2022·全国乙卷文)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值是(　C　) A．－2 B．4 C．8 D．12 解析：方法一　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分， 作出直线y＝2x，平移该直线，当直线经过点(4，0)时，z最大，此时z＝2×4－0＝8. 方法二　由得 此时z＝2×0－2＝－2； 由得 此时z＝2×2－0＝4； 由得 此时z＝2×4－0＝8. 综上所述，z＝2x－y的最大值为8. 2．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　C　) A．18 B．10 C．6 D．4 解析：方法一　作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分． 由z＝3x＋y，得y＝－3x＋z.作出直线y＝－3x并平移，当平移后的直线经过点A时，在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由易得A点坐标为(1，3).所以zmin＝3×1＋3＝6. 方法二　由于不等式组围成的区域是封闭的，三个交点的坐标分别求得为(1，3)，(3，1)，(5，3)，把这三个交点的坐标分别代入目标函数，哪个坐标所对应的值最小即为最小值．显然点(1，3)是目标函数取得最小值的点，故z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6. 3．(2021·浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　B　) A．－2 B．－ C．－ D． 解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分． 由z＝x－y，得y＝2x－2z.作出直线l0：y＝2x，并平移该直线，发现当该直线经过点A时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值．由得A(－1，1).所以zmin＝－1－×1＝－. 4．(2019·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　C　) A．2　　　　B．3　　　 　C．5　　　 　D．6 解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝－4x＋y可得y＝4x＋z.设直线l0为y＝4x，平移直线l0，当直线过点A时z取得最大值． 由得A(－1，1)， ∴zmax＝－4×(－1)＋1＝5. 5．(2023·全国乙卷)若x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为__8__． 解析：如图，作出可行域，为一封闭三角形区域(包含边界)，求出三条边界的交点，分别为A(1，4)，B(5，2)，C(2，1).作出直线y＝2x并平移，当直线y＝2x－z过点B时截距－z取得最小值，即z取得最大值，所以zmax＝8. 6．(2020·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝