专题21 与圆有关的计算（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题21 与圆有关的计算 1．会计算圆的弧长、扇形的面积 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 考点1：正多边形 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 注： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 （1）正ｎ边形每一个内角的度数是； （2）正ｎ边形每个中心角的度数是； （3）正ｎ边形每个外角的度数是. 注：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 考点2：弧长 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 注： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 考点3：扇形 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 注： （1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； （2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； （4）扇形两个面积公式之间的联系： . 考点4：圆锥侧面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 注： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长. 因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【题型1： 正多边形与圆】 【典例1】如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（    ） A．点O是正六边形的中心 B．正六边形的边长是2 C．正六边形的中心角是 D．正六边形的边心距 1．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 2．在一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的一个外角的度数是 ． 3．如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为 ． 4．如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 【题型2：弧长公式】 【典例2】如图，在半径为的中，弦于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（    ） A． B． C． D． 2．一个扇形的半径是6，其圆心角是，则圆心角所对的弧长为 ． 3．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是，，则的长是