轻绳连接体问题的力学规律与求解策略-《中学生数理化》高考理化2024年1月刊

■四川省资中县教育研究室 邓贤彬 以轻绳连接体为背景的物理试题往往能 够充分考查物体的受力平衡、牛顿运动定律、 运动的合成与分解、动量、能量守恒和功能关 系等重要力学知识(如图1所示),以及平行 四边形定则、三角函数等数学知识,对同学们 的理解能力和数学计算能力的要求较高。要 想快速准确地求解轻绳连接体问题,就必须 清楚轻绳的力学特性和轻绳连接的两个物体 间具有的速度关系、加速度关系、位移关系 等。下面归纳整理典型的轻绳连接体问题的 求解策略,供大家参考。 图1 一、轻绳之瞬间问题 1.轻绳的定义:没有质量,形变量微小到 可以忽略不计的绳子。 2.轻绳的力学特性:轻绳不发生显著形 变就能产生弹力,故形变的产生、恢复或改变 几乎不需要时间,其弹力可以发生突变。 图2 例 1 如图2所示,用 两段不可伸长的轻绳悬挂质 量为m 的小球,小球处于静 止状态时,小球左侧轻绳水 平,右侧轻绳与竖直方向间 的夹角为θ。以下说法中正确的是( )。 A.剪断水平轻绳的瞬间,小球的加速度 为gtan θ B.剪断水平轻绳的瞬间,小球的加速度 为gsin θ C.剪断倾斜轻绳的瞬间,小球的加速度 为g D.剪断倾斜轻绳的瞬间,小球的加速度 为 g sin θ 解析:剪断轻绳的瞬间,其弹力会发生突 变。分析此时轻绳的弹力情况需要根据小球 以后的运动情况,因为此时轻绳的弹力应为 小球以后的运动提供力学条件。 剪断水平轻绳的瞬间,小球开始做圆周 图3 运动。小球的受力情况如图3所示, 将重力沿绳和垂直于绳方向分解,则 T=mgcos θ,F合=mgsin θ,因此小 球的加速度a= F合 m =gsin θ,选项A 错误,B正确。 剪断倾斜轻绳的瞬间,小球开始做自由 落体运动(水平绳无拉力),则小球的加速度 a=g,选项C正确,D错误。 答案:BC 图4 例 2 如图4所示,质量为 M 的木块用长为L 的轻绳悬挂于O 点,处于静止状态。一质量为m 的 子弹以水平速度v0 高速射入木块, 子弹没射出木块。不考虑一切阻 力,求: (1)子弹射入木块后,子弹和木块的共同 速度v共。 (2)子弹射入木块时轻绳的拉力F。 (3)子弹射入木块后,子弹和木块上升的 最大高度 H。 解析:(1)子弹射入木块的时间很短,木 块的位置几乎没有变化,子弹和木块就达到 共同速度。由子弹和木块组成的系统受轻绳 对它竖直向上的拉力和竖直向下的重力,因 而在水平方向上受到的合力为零,系统动量 守恒,则 mv0= (m +M)v共,解 得 v共 = mv0 m+M 。 11 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年1月 图5 (2)子弹射入木块后,由子弹和 木块组成的系统开始做圆周运动, 系统的受力情况如图5所示,根据 运动学公式得 F-(m+M)g= (m+M) v2共 L ,解得F=(m+M)g+ m2v20 (m+M)L 。 (3)子弹和木块在向右运动的过程中,因 为轻绳的拉力始终不做功,只有重力做功,所 以由子弹和木块组成的系统机械能守恒,当 系统的速度为零时运动到最高点。根据机械 能守恒定律得 1 2 (m+M)v2共=(m+M)gH, 解得 H= m2 2g(m+M)2 v20。 二、轻绳连接之死结、活结问题 1.“死结”:可理解为把轻绳分成两段,且 不可以沿轻绳自由移动的结点。其特点是 “死结”让结两侧的两段轻绳变成两根独立的 轻绳,因此两段轻绳的张力一般不相等。理 论上,一根轻绳可以存在无数个“死结”下的 力学平衡状态。 2.“活结”:可理解为把轻绳分成两段,且 可以沿轻绳自由移动的结点。其特点是轻绳 在结点处发生弯曲,张力方向发生变化,但轻 绳仍是同一根绳,“活结”两侧的两段轻绳的 张力大小一定相等。一般情况下,处于确定 的力学平衡状态下的一根轻绳只能有一个 “活结”。 例 3 (2020年高考全国Ⅲ卷) 如图6 所示,悬挂物体甲的细线拴牢在一不可伸长 图6 的轻质 细绳上 O 点处, 细绳的一端固定在墙上 A 点,另一端通过光滑定 滑轮与物体乙相连。甲、 乙两 物 体 的 质 量 相 等。 系统平衡时,O 点两侧细 绳与竖直方向间的夹角 分别为α和β,若α=70°,则β等于( )。 A.45° B.55° C.60° D.70° 解析:本题是轻绳连接体的平衡问题,既 有“死结”,又有“活结”。选滑轮处为研究对 象,滑轮处为一“活结”,因而滑轮两侧的两段 细绳的张力大小相等,且等于物体乙的重力。 设甲、乙两物体的质量均为 m,选O 点为研 图7 究对象,进行受力分析,如 图7所示,因为T1=T2,所 以其合力 T 在其角平分线 上,即∠1=∠2,根据三力 平衡条件可知,TOA 和