立足物理观念 妙思估算问题-《中学生数理化》高考理化2024年1月刊

立足物理观念 妙思估算问题 ■浙江省桐乡第一中学 李 鑫 在新课标背景下,联系实际问题出现的 频次越来越高,涉及数值计算或估算的问题 也越来越多,下面从处理方法的角度讨论此 类问题,并从物理观念和科学思维层面出发, 剖析数值计算和估算问题的求解策略,供同 学们参考。 一、方法与策略 1.重估轻算。 例 1 (2018·浙江)杭州市正将主干 道上的部分高压钠灯换成LED灯,已知高压 钠灯 的 功 率 为 400 W,LED 灯 的 功 率 为 180 W,若更换4 000盏,则一个月可节约的 电能约为( )。 A.9×102 kW·h B.3×105 kW·h C.6×105 kW·h D.1×1012 kW·h 解析:将4 000盏高压钠灯换成 LED 灯,每天可节约的电能约为(400-180)W× 4 000×10 h=8.8×106 W·h,故一个月可 节约 的 电 能 约 为 8.8×106 W·h×30= 2.64×108 W·h≈3×105 kW·h。 答案:B 评价:此类型问题并非第一次出现在浙 江省高考卷中,源头可以追溯到2012年LED 灯取代白炽灯背景下估算全国一年可节约多 少电能的经典问题。本题相对于2012年的 那道估算题要简单一些,因为不需要估算全 国有多少亿户。求解本题的核心在于知道灯 在一天中只亮10小时左右,而不是24小时。 本题的数值计算难度很小,重点在于根据实 际情况进行估值,即重心在估不在算。 2.算估技巧。 例 2 (2021·全国甲卷)2021年2 月,执行我国火星探测任务的“天问一号”探 测器在成功实施三次近火制动后,进入运行 周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道,轨 道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。 已知火星半径约为3.4×106 m,火星表面处 自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2,则“天 问一号”探测器的停泊轨道与火星表面的最 远距离约为( )。 A.6×105 m B.6×106 m C.6×107 m D.6×108 m 解析:设火星半径为R,火星表面处自由 落体的加速度为 g,根据 G Mm R2 =m v2 R = mg,T= 2πR v ,解得近火卫星的周期 T1= 2πR gR 。设“天问一号”探测器的椭圆形停泊 轨道的半长轴为a,根据开普勒第三定律得 a3 T2 = R3 T21 ,整理得a= 3 gT2R2 4π2 ,其 中 g= 3.7 m/s2,T=1.8×105 s,R=3.4×106 m, 解得a≈ 3 1.82×1022m,因此107 m<a< 108 m。近火点和远火点距离之和等于椭圆 形停泊轨道的长轴,因为近火点距离约为 2.8×105 m,所以远火点距离约为6×107 m。 答案:C 评价:本题是借他山之石来考查万有引 力相关问题,需要学生熟练掌握万有引力定 律、万有引力和重力的关系,以及开普勒第三 定律,并且需要采用合理的估算方法,具备娴 熟的数值计算能力。本题的解法有很多,上 述解法相对来说可以节约时间。处理数值计 算问题时,第一是要先得出目标物理量函数 关系再计算数值,而不要列一个关系式就解 出一个中间结果,这样不仅使得计算成本提 高,而且容易因为每一步计算的四舍五入导 致最终结果谬以千里;第二是要掌握必要的 估算技巧,上述解答过程中,将3.7和4相抵 消,将3.4与π相抵消,是一种近似处理,而 且将半长轴a 的结果取在一个区间内,并不 得出精确的数值,完全不影响选出正确答案。 估算的一些数学技巧是需要同学们在平时的 学习与训练中长期积累的,浙江高考题曾经 93 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2024年1月 两次考查小量计算,其中(1+x)n=1+nx 在 x 远小于1时成立,这种近似处理方法在求 解天体物理估算问题时也有妙用。比如估算 在距离地球表面300 km圆形轨道上运行的 环绕卫星的加速度,可以利用牛顿第二定律 和 万 有 引 力 定 律 得 出 a = g R2 (R+h)2 = g1+ h R -2 ,利用 1+ h R -2 =1-2 h R 得出 g1-2 h R =9.06 m/s2。 3.先估后算。 例 3 太阳系各行星几乎在同一平面 内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球恰好 运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎 排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已 知地球及各地外行星绕太阳运行的轨道半径 如表1所示,则相邻两次“行星冲日”的时间 间隔约为( )。 表1 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星