热点2-4 导数的切线问题（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点2-4 导数的切线问题 导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。 【题型1 “在”点P处的切线问题】 满分技巧 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 . 【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 . 【题型2 “过”点P处的切线问题】 满分技巧 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数，且为曲线的一条切线，则 ． 【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则 ． 【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【题型3 切线的平行、垂直问题】 满分技巧 结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。 【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 . 【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程. 【题型4 切线的条数问题】 满分技巧 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 . 【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ） A． B． C． D． 【题型5 两条曲线的公切线问题】 满分技巧 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 【变式5-2