三角函数与平面向量的综合应用-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■山东省威海市第二中学 丛丽伟 三角函数与平面向量之间的交汇与综合 问题,一直是高考数学试卷中比较常见的一 类热点问题,通过平面向量的工具性加以转 化问题,结合三角函数中的概念及相应公式 加以恒等变换,有时涉及正、余弦定理等相关 知识,用来综合考查三角函数的基础知识、基 本公式、基本技能与基本应用等。 一、三角函数的求值与平面向量的综合 以平面向量为载体,利用诱导公式、同角 三角函数关系式、两角和与差的三角函数及 倍角公式等解决三角函数中的求值问题,是 高考的重要考向,考查同学们分析问题、解决 问题的能力。 例 1 已 知 向 量 m = (sin x, 3cos x),n=(sin x,sin x),函数f(x)= m·n。 (1)求f π 12 的值; (2)当x∈ 0, π 2 时,求函数f(x)的最 大值与最小值。 分析:(1)根据题设条件,利用平面向量 的数量积公式,通过数量积的坐标运算来构 建函数f(x)的解析式,把x= π 12 代入即可; (2)利用题设中x 的取值范围所对应角的取 值范围,结合三角函数的图像与性质来确定 三角函数在给定区间上的最大值与最小值。 解:(1)依题意可得 f(x)=m·n= (sin x,3cos x)·(sin x,sin x)=sin2 x+ 3cos xsin x= 1-cos 2x 2 + 3 2sin 2x= 3 2sin 2x- 1 2cos 2x+ 1 2=sin2x- π 6 + 1 2 ,故f π 12 =sin2×π12-π6 +12=12。 (2)当 x∈ 0, π 2 时,有 2x- π6 ∈ - π 6 ,5π 6 。 故当2x- π 6= π 2 ,即x= π 3 时,f(x)max =sin π 2+ 1 2=1+ 1 2= 3 2 ; 当2x- π 6=- π 6 ,即x=0时,f(x)min =sin - π 6 +12=-12+12=0。 规律方法:平面向量在三角函数求值中 的应用步骤:(1)利用平面向量的基本性质、 运算公式、数量积等构建对应的三角函数关 系式,特别是涉及向量的平行与垂直关系等; (2)利用三角恒等变换公式,以及题设条件中 的角的取值限制等,通过三角函数的图像与 性质来分析与求解。 二、三角函数的性质与平面向量的综合 以平面向量的坐标运算为载体,引入三角 函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函 数,重点考查三角函数的单调性、周期性、最 值、取值范围及三角函数的图像变换等。 例 2 已知向量m=(sin x,-1),n= cos x, 3 2 ,函数f(x)=(m+n)·m。 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递 增区间; (2)当x∈ 0, π 2 时,求函数f(x)的值 域; (3)将函数f(x)的图像左移 3π 8 个单位 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 长度后得函数g(x)的图像,求函数g(x)在 - π 3 ,π 3 上的最大值。 分析:(1)根据题设条件,通过向量的坐 标运算及数量积公式,构建三角函数f(x)的 解析式,并通过三角恒等变换转化为正弦型 函数,进而求解对应的基本性质;(2)结合题 设条件中角的取值范围,通过三角函数的图 像与性质来确定函数的最值,进而得以确定 函数f(x)的值域;(3)利用三角函数图像的 平移变换可得函数g(x)的解析式,进而利用 三角函数的图像与性质来求解最大值问题。 解:(1)由已知可得f(x)=(m+n)·m = sin x+cos x, 1 2 · (sin x,-1)= sin2 x+sin xcos x - 1 2 = 1 2sin 2x - 1 2cos 2x= 2 2sin2x- π 4 。 故f(x)的最小正周期T= 2π 2=π 。 由2kπ- π 2 ≤2x- π 4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 可得kπ- π 8≤x≤kπ+ 3π 8 ,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ- π 8 ,kπ+ 3π 8 (k∈Z)。 (2)当 x∈ 0, π 2 时,有 2x- π4 ∈ - π 4 ,3π 4 ,故- 22≤sin2x-π4 ≤1,所以 - 1 2≤ 2 2sin2x- π 4 ≤ 22。 所以当x∈ 0, π 2 时,函数f(x)的值域 为 - 1 2 ,2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 (3)根 据 题 意 可 得 函 数 g (x)= 2 2sin2x+ 3π 8 -π4 = 22sin2x+π2