三角函数解答题的常见类型与应用-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■江苏省扬州市江都区邵伯高级中学 张秀跃 三角函数模块知识作为高考数学试卷解 答题中的主干知识之一,每年考查的形式相 对稳定,主要以三角函数为问题背景加以合 理创设,结合三角函数的基础概念、基本知识 与相关公式等为根本,综合三角恒等变换公 式,以及解三角形或平面向量等内容来解决 有关的三角函数的图像与性质、三角形的基 本要素求解等问题,成为高考此模块数学试 题解答题命题的一个重要方向与主要方式, 相对比较基础,难度中等。解决三角函数解 答题的根本基石在于三角函数及其相关基础 知识,解决问题的关键重在“变”———变角、变 式,利用复杂关系式的“变”与转化,从而实现 三角函数问题的“统一”———统一角、统一名、 统一形。 一、三角函数的图像与性质问题 三角函数的图像与性质问题是高考的高 频考点之一,常与三角恒等变换、函数与方 程、不等式等基础知识相结合考查。常见的 创设形式与主要解题思路为:(1)化简三角函 数,转化为正弦型函数(或余弦型函数等),利 用三角函数的图像与性质解答;(2)采用换元 法,转化为二次函数的图像与性质问题。 例 1 已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+ cos(π-2ωx)(ω>0)的最小正周期为π。 (1)求ω的值及函数f(x)的对称中心坐标; (2)已知m> π 2 ,函数f(x)在区间(π- m,m)内既有最大值又有最小值,求 m 的取 值范围。 分析:(1)根据题设条件,直接利用三角 函数关系式的变换,转化为正弦型函数,利用 正弦函数的图像与性质求出对应参数ω 的 值,以及函数f(x)的对称中心坐标;(2)利用 三角函数的图像与性质,综合考虑函数在给 定区间内既有最大值又有最小值,构建对应 的不等式组,从而得以求出参数的取值范围。 解:(1)由 于 函 数 f(x)=2sin ωx· cos ωx+cos(π-2ωx)=sin 2ωx-cos 2ωx = 2sin2ωx- π 4 ,又函数f(x)的最小正 周期为π,所以 T= 2π 2ω=π ,解得ω=1,故 f(x)= 2sin 2x- π 4 。令 2x- π4 =kπ (k∈Z),则x= kπ 2+ π 8 (k∈Z),故函数f(x) 的对称中心坐标为 kπ 2+ π 8 ,0 (k∈Z)。 (2)由于 m> π 2 ,所以∈ π 2 (π-m,m), 且区间端点关于x= π 2 对称,只需观察x= π 2 左右两边的情况。 当x= 3π 8 时,函数f(x)取得最大值; 当x= 7π 8 时,函数f(x)取得最小值。 故 m> 7π 8 π-m< 3π 8 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 m> 7π 8 ,故 m 的取 值范围为 7π 8 ,+∞ 。 点评:解决三角函数的图像与性质问题 的基本思路:(1)根据题设三角函数关系式, 通过三角恒等变换公式及其他三角函数公式 把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角 一函数)的形式;(2)把“ωx+φ”看作一个整 体,利用正弦函数的图像与性质求解与三角 函数y=Asin(ωx+φ)+B 相关的问题。 二、三角形中的范围(或最值)问题 任何范围问题,其本质都是函数问题,所 以三角形的范围(或最值)问题也不例外。该 类问题的解法主要有两种:一是利用函数求 解;二是利用基本不等式求解。由于三角形 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 中的范围问题一般是以角为自变量的三角函 数问题,所以除遵循函数问题的基本要求外, 还要有自己独特的解法。 例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别是a,b,c。已知 cos B ab + cos C ac + 2cos A bc =0 。 (1)求A; (2)若a=23,求△ABC周长的取值范围。 分析:(1)根据题设中的三角关系式,通 过正弦定理的变形,利用两角和的正弦公式, 以及三角形中角之间的关系可得角 A 的余 弦值,进而可得角A 的大小;(2)由余弦定理 及基本不等式可得b+c的最大值,再由三角 形的性质可得b+c的取值范围,进而可得三 角形的周长的取值范围。 解:(1)已知 cos B ab + cos C ac + 2cos A bc =0 , 由正弦定理可得 cos B sin Asin B+ cos C sin Asin C+ 2cos A sin Bsin C=0 ,整 理 可 得 sin Ccos B + sin Bcos C+2sin Acos A=0,即sin(B+C) =-2sin Acos A。 在△ABC中,因