浅析高考中三角函数题型的解题策略-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■安徽省芜湖市第一中学 刘海涛 三角函数是高中的重要内容之一,高考 对于三角函数的考查主要以选择或填空题的 形式呈现,难度一般为中等题,主要考查三角 函数的图像、性质等基本内容,偶尔与平面向 量、解三角形等结合起来考查,现按照题型分 类,给出三角函数不同题型的解题策略。 一、以三角函数图像的平移与伸缩变换 为背景的考查 1.函数名改变的图像变换 例 1 已知函数f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,0<φ< π 2 ,若将函数f(x)的图像向 右平移 π 12 个单位长度后,得到函数g(x)= sin2x+ 2π 3 的图像,则φ的值为( )。 A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 2π 5 解 析: 由 题 意 可 知,g (x)= cosωx- π 12 +φ =cos ωx+φ-ωπ12 = sin2x+ 2π 3 =cos2x+π6 ,则ω=2,φ- π 12×2= π 6+2kπ (k∈Z),即φ= π 3+2kπ (k∈Z),又0<φ< π 2 ,则φ= π 3 。故选C。 评注:对于函数名不一致的平移,通常借 助诱导公式化为同名函数即可。 2.根据图像确定解析式的图像变换 图1 例 2 如图1,函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的 图 像 过 π 2 ,0 ,(2π,2)两点, 为得到函数g(x)=2cos(ωx-φ)的图像,应 将函数f(x)的图像( )。 A.向右平移 7π 6 个单位长度 B.向左平移 7π 6 个单位长度 C.向右平移 5π 2 个单位长度 D.向左平移 5π 2 个单位长度 解析:由图易知T=42π- π 2 =6π,则 ω= 1 3 ,所以f(x)=2sin 1 3x+φ ,将(2π, 2)代入得2sin2π3+φ =1,则2π3+φ=π2+ 2kπ(k∈Z),又因为|φ|< π 2 ,所以φ=- π 6 , 所 以 f (x)=2sin 1 3x- π 6 ,g(x)= 2cos13x+ π 6 。验证不难得到f x+5π2 = g(x),故选D。 评注:确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0, ω>0)的步骤和方法:(1)求 A,b:确定函数 的最大值 M 和 最 小 值 m,则 A= 1 2 (M- m),b= 1 2 (M+m)。(2)求ω:确定函数的周 期T,则ω= 2π T 。(3)求φ:把图像上的一个 已知 点(此 时 A,b,ω 已 知)或 图 像 与 直 线 y=b的交点代入求解(此时要注意交点是在 上升区间内还是在下降区间内)。 3.通过三角恒等变换化简解析式的图像 变换 例 3 已知函数f(x)=2sin x+cos x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到 函数g(x)=sin x+2cos x 的图像,则g(φ) =( )。 A. 6 5 B. 11 5 C. 1 5 D. 8 5 解析:因为f(x+φ)=2sin(x+φ)+ cos(x+φ)=2sin xcos φ+2cos xsin φ+ 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年1月 cos xcos φ-sin xsin φ = (2cos φ - sin φ)sin x+ (2sin φ +cos φ)cos x = g(x),所以 2cos φ-sin φ=1, 2sin φ+cos φ=2, 解得sin φ= 3 5 ,cos φ= 4 5 ,所以g(φ)=sin φ+2cos φ= 11 5 。故选B。 评注:遇到需要经过三角恒等变换化简 函数解析式时,我们要熟练掌握三角恒等变 换的若干公式,如两角和与差得正、余弦公 式,二倍角公式,降幂公式,半角公式等。 4.以图像变换为背景的三角函数性质的 考查 例 4 将函数f(x)= 2sin(2x+φ) |φ|< π 2 的图像向右平移11π24个单位长度 得到函数 g(x)的 图 像,若 π 12 ,0 是 函 数 g(x)图像的一个对称中心,则函数g(x)的 一个单调递减区间为( )。 A.π2 ,π B.0,π6 C.π3 ,5π 6 D.π6,2π3 解析:由题意得,g(x)=f x- 11π 24 = 2sin2x+φ- 11π 12 ,则2·π12+φ-11π12 = kπ(k∈Z),又|φ|< π 2 ,则 φ=- π 4 ,所 以 g(x)=2sin2x- 7π 6 ,令2kπ-3π2≤2x- 7π 6≤2kπ- π 2 ,得kπ-