聚焦数列本质，重视运算推理—高考全国卷数列解答题命题动向分析-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

聚焦数列本质,重视运算推理 ———高考全国卷数列解答题命题动向分析 ■广东省佛山市顺德区容山中学 潘敬贞 沈 健 数列是高中数学的重要内容,也是每年 高考必考的内容,历年高考全国卷中的数列 解答题始终保持着“聚焦数列本质,重视运算 推理”的特色,试题以基本知识、基本技能和 基本思想方法为出发点,以数学素养为落脚 点,对同学们进行全面考查。本文结合实例 对全国卷中数列解答题的命题动向进行分 析,目的是帮助同学们把握高考数列解答题 的命题动向,提高备考的针对性与有效性。 一、考查基本概念与基本思想方法 例 1 设公差不为0的等差数列{an} 的前n项和为Sn,且a4=2a2+2,S1,S2,S4 成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2n-an+33,数列{bn}的前n 项和为Tn,若∀n∈N*,都有Tn<m 成立, 求m 的取值范围。 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,由 a4=2a2+2,以及S1,S2,S4 成等比数列得, a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, a1+3d=2(a1+d)+2, 解得a1=2,d= 4,所以an=2+4(n-1)=4n-2。 (2)由(1)知an=4n-2,所以bn=2n- an+33=35-2n。 所以Tn= (33+35-2n)n 2 =-n 2+34n =-(n-17)2+289,所以当n=17时,Tn 取 得最大值289。 因为∀n∈N*,都有 Tn<m 成立,所以 m>289。 评注:本题第一问聚焦等差、等比数列的 基本概念与基本量的求解;第二问结合不等 式考查等差数列的求和公式。试题着力考查 同学们对数列基本知识、基本思想方法的掌 握情况,考查同学们的运算求解能力,以及数 学运算、逻辑推理等核心素养。试题凸显基 础性与综合性,难度不大,属于基础题。 例 2 已知Sn 是数列{an}的前n 项 和,2Sn=nan,a2=3。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=|16-an|,求数列{bn}的前n 项和Tn。 解析:(1)因为2Sn=nan,所以2Sn+1= (n+1)an+1,两式相减得2an+1=(n+1)an+1 -nan,整理得(n-1)an+1=nan,即当n≥2 时,an+1 an = n n-1 。 所以当n≥2时,an= an an-1 ·an-1 an-2 ·…· a3 a2 ·a2 = n-1 n-2 ·n-2 n-3 · … · 2 1 ·3= 3(n-1)。 又当n=1时,2a1=a1,得a1=0,也满足 上式,故an=3(n-1)。 (2)由 (1)可 知,bn =|16-an|= |19-3n|。 记Cn=19-3n,设数列{Cn}的前n项和 为Tn'。 当 n≤6 时,Tn = n(16+19-3n) 2 = -3n2+35n 2 ; 当n>6时,Tn=C1+C2+……+C6- C7-…-Cn=T6'-(Tn'-T6')=2T6'- Tn' =102- -3n2+35n 2 = 3n2-35n+204 2 。 综上可得,Tn= -3n2+35n 2 ,n≤6, 3n2-35n+204 2 ,n>6。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 评注:本题结合an 与Sn 的关系,考查累 乘法求通项公式。当然,本题第一问还可以 通过构造常数列来求数列的通项公式,即由 (n-1)an+1=nan,得 an+1 n = an n-1 (n≥2),所 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年1月 以 an n-1 是常数列,但要注意检验首项是否 满足;第二问需要分类讨论去掉绝对值,然后 进行求和。本题是数列中典型的问题,求解 过程中涉及的思想方法都是数列常用的思想 方法,需要同学们掌握。 例 3 记数列 an 的前n 项和为Sn, 已知a1=3,an+1=Sn+n+3。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn= 1 an ,设数列{bn}的前n项和为 Tn,证明:Tn<1。 解析:(1)因为an+1=Sn+n+3,所以 an=Sn-1+n+2(n≥2),两式相减得an+1- an=an+1,即an+1=2an+1(n≥2),所以 an+1+1=2(an+1)(n≥2),即 an+1+1 an+1 = 2(n≥2)。又因为a2=S1+1+3=7,所以 a2+1 a1+1 =2,所以{an+1}是以4为首项,2为 公比的等比数列,故an+1=4×2n-1=2n+1, 所以an=2n+1-1。 (2)由(1)知an=2n+1-1,所以bn= 1 an = 1 2n+1-1 < 1+1 2n+1-1+1 = 1 2n 。 所以Tn=b1+b2+…+bn= 1