聚焦高考中数列的经典题型-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■安徽省芜湖县第一中学 许正正 数列在高中数学中是一个比较独立的模 块,在高考中占据一定的比例。在近几年的 高考中,数列问题常常以一道解答题或两道 小题(选择或填空)的方式进行考查。数列解 答题多以等差数列或等比数列为载体,考查 数列的通项、前n 项和、求最值、证明等差或 等比数列、证明不等式、求参数的取值范围 等。下面结合最新模拟试题介绍数列解答题 的几种题型,供大家参考。 聚焦一、数列求和常用题型 求数列的通项是解数列问题成功的关 键,因此,同学们需要掌握求数列通项的常用 方法。而数列求和在高考中常常结合等差数 列和等比数列进行综合命题,多以解答题的 形式来考查,属于中等难度试题。公式法、倒 序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相 减法、裂项相消法等是同学们在复习备考时 需要掌握的求和方法。 1.倒序相加与裂项相消求和法 例 1 已知数列{an}的各项都不为0, a1=2,a2=4,数列{an}的前n 项和为Sn,且 满足anan+1=4Sn。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=a1C1n+a2C2n+a3C3n+…+ an-1Cn-1n +anCnn,求数列 bn+2n+1 bnbn+1 的前n 项 和Tn。 解析:(1)an=2n(n∈N)。(过程略) (2)bn =a1C1n +a2C2n +a3C3n + … + an-1Cn-1n +anCnn,又bn=anCnn+an-1Cn-1n +… +a2C2n+a1C1n,利用倒序相加得2bn=(a1+ an-1)(C1n+C2n+…+Cnn)+2anCnn=2n(2n- 2)+4n=2n·2n,所以bn=n·2n,所 以 bn+2n+1 bnbn+1 = n·2n+2n+1 n·2n·(n+1)·2n+1 = 1 n·2n - 1 (n+1)·2n+1 ,所 以 Tn = 1 1×2- 1 1×22 + 1 2×22 - 1 3×23 +…+ 1 n·2n - 1 (n+1)·2n+1 = 1 2- 1 (n+1)·2n+1 。 方法突破:如果一个数列{an}中与首末 两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个 常数,那么求这个数列的前n 项和时即可用 倒序相加法。本题第(2)问利用倒序相加,求 得 bn =n·2n,整 理 bn+2n+1 bnbn+1 = 1 n·2n - 1 (n+1)·2n+1 ,进而利用裂项相消求和法,得 到Tn。 2.分组求和法 例 2 已知数列{an}的前n 项和为 Sn,且Sn=n2+n。 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若 数 列 {bn } 满 足 bn = an,n为奇数, 2 an 2,n为偶数, 求 数 列 {bn}的 前 2n 项 和 T2n。 解析:(1)an=2n。(过程略) (2)由(1)可 知bn = 2n,n为奇数, 2n,n为偶数, 则 T2n=(2+6+…+4n-2)+(22+24+…+ 22n)= n(2+4n-2) 2 + 4(1-4n) 1-4 =2n 2 + 4n+1-4 3 。 方法突破:若一个数列是由若干个等差 数列或等比数列或可求和的数列组成,则求 和时可用分组求和法,分别求和后再相加减。 3.错位相减求和法 例 3 已知等差数列{an}的公差不为 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年1月 0,其前n项和为Sn,且a2 是a1 和a5 的等比 中项,a2n=2an+1(n∈N*)。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+ anbn=(2n-3)·2n+1+6,求 Tn=a1bn+ a2bn-1+…+an-1b2+anb1。 解析:(1)an=2n-1。(过程略) (2)记数列{anbn}的前n 项和为An,则 An=(2n-3)·2n+1+6。 当n≥2时,anbn=An-An-1=(2n- 1)·2n,又a1b1=2满足上式,所以anbn= (2n-1)·2n,又an=2n-1,所以bn=2n。 由题得Tn=1×2n+3×2n-1+5×2n-2+ …+(2n-1)×2,则2Tn=1×2n+1+3×2n+ 5×2n-1+…+(2n-1)×22,两式相减得Tn =2n+1+2n+1+2n+…+23-(2n-1)×2= 2n+1+ 8(1-2n-1) 1-2 - (2n-1)×2=3×2n+1- 4n-6。 方法突破:如果一个数列的各项是由一 个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成,那么这个数列的前n 项和就可以用错位 相减法来求。本题是利用递推作差法求得 anbn=(2n-1)2n,从而求得bn=2n,再利用 错位相减法即可求解。 聚焦二、数列中的证明与判断问题