借助基本不等式,解决三角形最值问题-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

2024-01-25
| 3页
| 188人阅读
| 4人下载
教辅
中学生数理化高中版编辑部
进店逛逛

内容正文:

􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂􀥂 所 以 b+c= 43 3 sin B+sin2π3-B = 4 3 2sin B+ 1 2cos B =4sinB+π6 。 由于 π 6<B< π 2 ,则有π 3<B+ π 6< 2π 3 , 可得 3 2 <sin B+ π 6 ≤1,所 以 b+c= 4sinB+ π 6 ∈ 23,4 。 所以△ABC 周 长 的 取 值 范 围 为(2+ 23,6]。 点评:解决涉及三角函数与平面向量的 综合问题的常见方式有:利用平面向量的概 念、公式等合理构建对应的关系式,将向量问 题三角化,进而通过三角函数的恒等变换及 图像性质等来分析与解决问题。 在实际解决三角函数模块的解答题时, 审清题意是解决问题的关键。合理挖掘具体 的问题条件,创设解题的主要材料,联系并构 建条件间的内在联系,特别是相关的角、相关 的三角关系式等之间的联系是解题的必经之 路。审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵 和隐含信息,发掘条件的内在联系,进而借助 对应的三角恒等变换公式、解三角形中的定 理,以及平面向量中的公式等加以巧妙转化 与综合应用,考查“四基”与基本能力等,成为 高考命题的一个重要题型与考查方向。 (责任编辑 王福华) ■江苏省苏州市桃坞高级中学校 甄 艳 解三角形中的最值(或范围)问题是高考 中最为常见的一类综合应用问题,也是一个 热点与重点问题。基本不等式是破解三角形 中的最值(或范围)问题的一个重点与基本 点,特别在涉及解三角形的解答题中加以合 理创设,综合性强,难度较大,且与其相关的 问题灵活多样,备受各方关注。 一、角的最值问题 在解三角形的解答题中,利用基本不等 式求角的最值问题是高考的一个考点,解决 这类问题的关键是利用正、余弦定理及基本 不等式求出角的某一三角函数值的范围,然 后利用三角函数的单调性求出角的最值。 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的 边 分 别 为a,b,c,且 sin Ccos B 2 = 23 3 -cos C sinB2。 (1)当B= π 3 时,求sin C+sin A 的值; (2)求B 的最大值。 分析:(1)根据题设条件,将角代入构建对 应的三角关系式,通过所求关系式的诱导公式 变形与两角和正弦公式的应用,合理转化得以 求解;(2)利用三角关系式两边同乘以2cos B 2 进 行恒等变形,合理化简并利用正弦定理化角为 边,利用余弦定理确定cos B 的表达式,通过基 本不等式的应用来确定cos B 的最值,并利用余 弦函数的图像与性质来确定角B 的最大值。 解:(1)由 题 意,可 得 sin Ccos π 6 = 23 3 -cos C sin π6,即 32sin C+12cos C= 3 3 。 所以sin C+sin A=sin C+sin(π-C- B)=sin C +sin C+ π 3 = 32sin C + 3 2cos C= 3 3 2sin C+ 1 2cos C =1。 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 (2)在sin Ccos B 2= 23 3 -cos C · sin B 2 的两边同乘以2cos B 2 ,得2sin Ccos2 B 2 = 23 3 -cos C ·2sin B2cos B2,即sin C· (1+cos B)= 23 3 -cos C sin B,化简整理 得sin C+sin A= 23 3 sin B,由正弦定理可 得a+c= 23 3b 。 在△ABC 中,由余弦定理可得cos B= a2+c2-b2 2ac = (a+c)2-b2-2ac 2ac = b2 6ac-1 , 利用基本不等式有ac≤ a+c2 2 = 1 3b 2,当 且仅当a=c时等号成立,此时cos B= b2 6ac -1≥- 1 2 。 由于B∈(0,π),而y=cos x 在(0,π)上 单调递减,故B 的最大值为 2π 3 。 点评:解决本题第(2)问的关键是利用倍 角公式、余弦定理及基本不等式求出角B 的 余弦值的范围,然后利用余弦函数的单调性 求出角B 的最大值。结合三角形的应用场 景,合理确定与角有关的三角函数,借助三角 函数的 单 调 性 来 确 定 相 应 角 的 最 值 (或 范 围),这是解决问题的理论依据所在。 二、边的最值

资源预览图

借助基本不等式,解决三角形最值问题-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊
1
所属专辑
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。