内容正文:
所 以 b+c=
43
3 sin
B+sin2π3-B =
4 3
2sin
B+
1
2cos
B =4sinB+π6 。
由于
π
6<B<
π
2
,则有π
3<B+
π
6<
2π
3
,
可得
3
2 <sin B+
π
6 ≤1,所 以 b+c=
4sinB+
π
6 ∈ 23,4 。
所以△ABC 周 长 的 取 值 范 围 为(2+
23,6]。
点评:解决涉及三角函数与平面向量的
综合问题的常见方式有:利用平面向量的概
念、公式等合理构建对应的关系式,将向量问
题三角化,进而通过三角函数的恒等变换及
图像性质等来分析与解决问题。
在实际解决三角函数模块的解答题时,
审清题意是解决问题的关键。合理挖掘具体
的问题条件,创设解题的主要材料,联系并构
建条件间的内在联系,特别是相关的角、相关
的三角关系式等之间的联系是解题的必经之
路。审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵
和隐含信息,发掘条件的内在联系,进而借助
对应的三角恒等变换公式、解三角形中的定
理,以及平面向量中的公式等加以巧妙转化
与综合应用,考查“四基”与基本能力等,成为
高考命题的一个重要题型与考查方向。
(责任编辑 王福华)
■江苏省苏州市桃坞高级中学校 甄 艳
解三角形中的最值(或范围)问题是高考
中最为常见的一类综合应用问题,也是一个
热点与重点问题。基本不等式是破解三角形
中的最值(或范围)问题的一个重点与基本
点,特别在涉及解三角形的解答题中加以合
理创设,综合性强,难度较大,且与其相关的
问题灵活多样,备受各方关注。
一、角的最值问题
在解三角形的解答题中,利用基本不等
式求角的最值问题是高考的一个考点,解决
这类问题的关键是利用正、余弦定理及基本
不等式求出角的某一三角函数值的范围,然
后利用三角函数的单调性求出角的最值。
例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所
对的 边 分 别 为a,b,c,且 sin
Ccos
B
2 =
23
3 -cos
C sinB2。
(1)当B=
π
3
时,求sin
C+sin
A 的值;
(2)求B 的最大值。
分析:(1)根据题设条件,将角代入构建对
应的三角关系式,通过所求关系式的诱导公式
变形与两角和正弦公式的应用,合理转化得以
求解;(2)利用三角关系式两边同乘以2cos
B
2
进
行恒等变形,合理化简并利用正弦定理化角为
边,利用余弦定理确定cos
B 的表达式,通过基
本不等式的应用来确定cos
B 的最值,并利用余
弦函数的图像与性质来确定角B 的最大值。
解:(1)由 题 意,可 得 sin
Ccos
π
6 =
23
3 -cos
C sin π6,即 32sin C+12cos C=
3
3
。
所以sin
C+sin
A=sin
C+sin(π-C-
B)=sin
C +sin C+
π
3 = 32sin
C +
3
2cos
C= 3 3
2sin
C+
1
2cos
C =1。
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年1月
(2)在sin
Ccos
B
2=
23
3 -cos
C ·
sin
B
2
的两边同乘以2cos
B
2
,得2sin
Ccos2
B
2
= 23
3 -cos
C ·2sin B2cos B2,即sin C·
(1+cos
B)= 23
3 -cos
C sin B,化简整理
得sin
C+sin
A=
23
3 sin
B,由正弦定理可
得a+c=
23
3b
。
在△ABC 中,由余弦定理可得cos
B=
a2+c2-b2
2ac =
(a+c)2-b2-2ac
2ac =
b2
6ac-1
,
利用基本不等式有ac≤ a+c2
2
=
1
3b
2,当
且仅当a=c时等号成立,此时cos
B=
b2
6ac
-1≥-
1
2
。
由于B∈(0,π),而y=cos
x 在(0,π)上
单调递减,故B 的最大值为
2π
3
。
点评:解决本题第(2)问的关键是利用倍
角公式、余弦定理及基本不等式求出角B 的
余弦值的范围,然后利用余弦函数的单调性
求出角B 的最大值。结合三角形的应用场
景,合理确定与角有关的三角函数,借助三角
函数的 单 调 性 来 确 定 相 应 角 的 最 值 (或 范
围),这是解决问题的理论依据所在。
二、边的最值