内容正文:
所以数列 Sn
n 是一个常数列,故 Snn =
S1
1 =1
,即 Sn=n,所以Sn=n2(n≥2)。
因为S1=a1=1也满足上式,所以Sn=
n2。
(2)由(1)知Sn=n2,所以bn=(-1)n·
2n+1
Sn+n
= (-1)n ·
2n+1
n2+n
= (-1)n ·
1
n+
1
n+1 。
所 以 T2n = - 1+
1
2 + 12+13 -
1
3+
1
4 + 14+15 -…- 12n-1+12n +
1
2n+
1
2n+1 =-1+ 12n+1=- 2n2n+1。
点评:解决此类结构不良的开放性问题,
补充条件完整是解题的第一步,基于条件的
补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解
答基本一致。解决此类开放性问题时,往往
又分为选择条件型与探索条件型,基于不同
的开放性条件加以合理选择,进而进行分析
与求解,可以有效考查同学们分析问题、解决
问题的能力,对理解能力、探究能力、创新能
力与应用意识等的考查也是积极和深刻的。
数列解答题中的存在性、探索性、应用性
与开放性等创新试题的创设,巧妙融入数列
的基本概念、基本性质与基本公式,借助两个
特殊数列(等差数列与等比数列)的模型构建
与应用,融入函数与方程、不等式等其他知
识,通过合理的数学运算,巧妙的逻辑推理,
全面考查数学“四基”及数学能力,成为高考
试题中一个常考常新的基本点。
(责任编辑 王福华)
■江西师范大学附属中学 胡祝齐
作为高考中的主干知识之一的解三角
形,其中最值(或取值范围)问题的设置与考
查是最为常见的一类综合应用问题,也是高
考中的一个热点与重点问题。求解解三角形
中的最值问题,往往离不开三角函数、几何直
观、基本不等式、坐标应用,以及函数与导数
等思维及其知识应用,合理转化,巧妙处理,
实现解三角形中最值问题的求解。
一、三角函数思维
例 1 在平面四边形ABCD 中,AB⊥
AC,且 AB=AC,AD= 2CD=2 2,试求
BD 的最大值。
分析:根据题设条件,合理引入“角参”,
结合解三角形中的正弦定理与余弦定理的应
用,构建关于边长BD 的平方的三角关系式,
结合三角函数中的辅助角公式,利用三角函
数的图像与性质来确定最值问题。
图1
解:依 题 意,可 知 AB =
AC,AD=22,CD=2,作出图
形,如图1所示,设∠ADC=θ。
在△ADC 中,利用正弦定
理 有
AC
sin
θ=
CD
sin∠DAC
,所 以
ACsin∠DAC = CDsin
θ =
2sin
θ;利用余弦定理有AC2=AD2+CD2-
2AD·CDcos
θ=12-82cos
θ。
在△ADB 中,利用余弦定理有 BD2=
AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB=AC2+
AD2-2AC·ADcos ∠DAC+
π
2 =12-
82cos
θ+8+4 2ACsin∠DAC=20-
82cos
θ+82sin
θ=20+16sinθ-
π
4 ≤
02
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年1月
20+16=36,当且仅当∠ADC=θ=
3π
4
时等
号成立,所以BD 的最大值为6。
点评:三角函数思维确定最值问题,主要是
利用三角函数的图像与性质,通过三角函数的有
界性来应用。解题的关键是合理引入“角参”,构
建所求元素的三角关系式,综合三角恒等变换公
式化为单一的正弦型(或余弦型)函数,进而利用
正弦(或余弦)函数的有界性来达到目的。
二、几何直观思维
例 2 在△ABC 中,D,E 分别是线段
AC,BD 的中点,∠BAC=120°,AE=4,试求
△ABC 面积的最大值。
分析:根据题设条件,回归解三角形的平
面几何本质,将三角形的面积加以转化,进而
将问题转化为“定边对定角所对应点的轨迹
问题”,通过数形结合与几何直观,得以确定
几何图形的运动变化规律与对应变量的关
系,进而来确定对应三角形面积的最值问题。
图2
解:如图2所示,取
AD 的 中 点 F,连 接
EF,而E 是线段BD 的
中点,则 有 EF∥AB,
AB=2EF,∠AFE =
图3
60°。
由图2知S△ABC=2S△ABD
=8S△AEF。
而AE=4,∠AFE=60°,
由“定边对定角”的几何意义可
得点F 的轨迹是圆O 中的优
弧AE,如图3所示,则当FH⊥AE,即点F
位于点F0 处时,S△AEF 取得最大值,对应的
△AEF 是 边 长 为4 的 等