解三角形中最值问题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

2024-01-25
| 3页
| 199人阅读
| 2人下载
教辅
中学生数理化高中版编辑部
进店逛逛

内容正文:

􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 所以数列 Sn n 是一个常数列,故 Snn = S1 1 =1 ,即 Sn=n,所以Sn=n2(n≥2)。 因为S1=a1=1也满足上式,所以Sn= n2。 (2)由(1)知Sn=n2,所以bn=(-1)n· 2n+1 Sn+n = (-1)n · 2n+1 n2+n = (-1)n · 1 n+ 1 n+1 。 所 以 T2n = - 1+ 1 2 + 12+13 - 1 3+ 1 4 + 14+15 -…- 12n-1+12n + 1 2n+ 1 2n+1 =-1+ 12n+1=- 2n2n+1。 点评:解决此类结构不良的开放性问题, 补充条件完整是解题的第一步,基于条件的 补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解 答基本一致。解决此类开放性问题时,往往 又分为选择条件型与探索条件型,基于不同 的开放性条件加以合理选择,进而进行分析 与求解,可以有效考查同学们分析问题、解决 问题的能力,对理解能力、探究能力、创新能 力与应用意识等的考查也是积极和深刻的。 数列解答题中的存在性、探索性、应用性 与开放性等创新试题的创设,巧妙融入数列 的基本概念、基本性质与基本公式,借助两个 特殊数列(等差数列与等比数列)的模型构建 与应用,融入函数与方程、不等式等其他知 识,通过合理的数学运算,巧妙的逻辑推理, 全面考查数学“四基”及数学能力,成为高考 试题中一个常考常新的基本点。 (责任编辑 王福华) ■江西师范大学附属中学 胡祝齐 作为高考中的主干知识之一的解三角 形,其中最值(或取值范围)问题的设置与考 查是最为常见的一类综合应用问题,也是高 考中的一个热点与重点问题。求解解三角形 中的最值问题,往往离不开三角函数、几何直 观、基本不等式、坐标应用,以及函数与导数 等思维及其知识应用,合理转化,巧妙处理, 实现解三角形中最值问题的求解。 一、三角函数思维 例 1 在平面四边形ABCD 中,AB⊥ AC,且 AB=AC,AD= 2CD=2 2,试求 BD 的最大值。 分析:根据题设条件,合理引入“角参”, 结合解三角形中的正弦定理与余弦定理的应 用,构建关于边长BD 的平方的三角关系式, 结合三角函数中的辅助角公式,利用三角函 数的图像与性质来确定最值问题。 图1 解:依 题 意,可 知 AB = AC,AD=22,CD=2,作出图 形,如图1所示,设∠ADC=θ。 在△ADC 中,利用正弦定 理 有 AC sin θ= CD sin∠DAC ,所 以 ACsin∠DAC = CDsin θ = 2sin θ;利用余弦定理有AC2=AD2+CD2- 2AD·CDcos θ=12-82cos θ。 在△ADB 中,利用余弦定理有 BD2= AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB=AC2+ AD2-2AC·ADcos ∠DAC+ π 2 =12- 82cos θ+8+4 2ACsin∠DAC=20- 82cos θ+82sin θ=20+16sinθ- π 4 ≤ 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 20+16=36,当且仅当∠ADC=θ= 3π 4 时等 号成立,所以BD 的最大值为6。 点评:三角函数思维确定最值问题,主要是 利用三角函数的图像与性质,通过三角函数的有 界性来应用。解题的关键是合理引入“角参”,构 建所求元素的三角关系式,综合三角恒等变换公 式化为单一的正弦型(或余弦型)函数,进而利用 正弦(或余弦)函数的有界性来达到目的。 二、几何直观思维 例 2 在△ABC 中,D,E 分别是线段 AC,BD 的中点,∠BAC=120°,AE=4,试求 △ABC 面积的最大值。 分析:根据题设条件,回归解三角形的平 面几何本质,将三角形的面积加以转化,进而 将问题转化为“定边对定角所对应点的轨迹 问题”,通过数形结合与几何直观,得以确定 几何图形的运动变化规律与对应变量的关 系,进而来确定对应三角形面积的最值问题。 图2 解:如图2所示,取 AD 的 中 点 F,连 接 EF,而E 是线段BD 的 中点,则 有 EF∥AB, AB=2EF,∠AFE = 图3 60°。 由图2知S△ABC=2S△ABD =8S△AEF。 而AE=4,∠AFE=60°, 由“定边对定角”的几何意义可 得点F 的轨迹是圆O 中的优 弧AE,如图3所示,则当FH⊥AE,即点F 位于点F0 处时,S△AEF 取得最大值,对应的 △AEF 是 边 长 为4 的 等

资源预览图

解三角形中最值问题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊
1
所属专辑
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台,不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系学科网,我们核实后将及时进行处理。