解三角形复习中的几点建议-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■安徽省砀山中学 杜文明 近几年高考对解三角形的考查基本上都 是以解答题的形式,同学们如何确保在这一 模块不失分,需要在复习备考时做到强化基 础、精准定位。下面笔者结合几个典例给出 几点备考建议。 一、扣住“三大公式”及其变形解三角形 例 1 在锐角△ABC 中,设边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,且a2-b2=bc。 (1)证明:A=2B; (2)若a=1,求2b+c的取值范围。 解析:(1)因为a2-b2=bc,所以cos A= b2+c2-a2 2bc = c2-bc 2bc = c-b 2b = sin C-sin B 2sin B , 整理得2sin Bcos A=sin C-sin B。又C= π-(A+B),则sin C=sin[π-(A+B)]= sin(A+B)。所以2sin Bcos A=sin(A+B) -sin B=sin Acos B+cos Asin B-sin B, 整理得sin B=sin Acos B-cos Asin B,所 以sin B=sin(A-B)。因为△ABC 为锐角 三角形,所以0<B< π 2 ,0<A< π 2 ,所以 - π 2<A-B< π 2 。因为函数y=sin x 在 - π 2 ,π 2 上单调递增,所以B=A-B,所以 A=2B。 (2)由(1)可知 A=2B,C=π-3B。因 为a=1,由正弦定理可得 1 sin 2B= b sin B ,即 1 2sin Bcos B= b sin B ,因为B∈ 0, π 2 ,所以 sin B>0,则b= 1 2cos B 。又a2-b2=bc,所 以b2+bc=1,即b+c= 1 b ,所以2b+c=b+ 1 b= 1 2cos B+2cos B。因为△ABC 为锐角 三角形,所以0<B< π 2 ,0<2B< π 2 ,0<π- 3B< π 2 ,解得π 6<B< π 4 ,则 2 2 <cos B< 3 2 。记t=2cos B,则2b+c=t+ 1 t ,t∈ (2,3)。由对勾函数知y=t+ 1 t 在t∈ (2,3)上单调递增,所以 32 2 <y< 43 3 ,即 2b+c的取值范围为 32 2 ,43 3 。 评注:本题第一问根据题目条件中的二 次式与余弦定理巧妙结合消元,然后利用正 弦定理进行边化角,利用内角和定理消去角 C,通过和差公式化简后,利用正弦函数的单 调性即可证明;第二问再次利用正弦定理将 目标式转化为关于角B 的三角函数,根据锐 角三角形的定义求出角B 的范围,然后使用 换元法,借助对勾函数的单调性求解。针对 解三角形相关求解问题,扣住正弦定理、余弦 定理、面积公式及其变形是基础,根据具体条 件瞄准方向,进行边角互化,从而得出结果。 二、利用向量解三角形 例 2 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且2c2=(a2+c2- b2)(tan A+tan B)。 (1)求角A 的大小; (2)若a= 2,边BC 的中点为D,求中 线AD 长的取值范围。 解析:(1)由条件结合余弦定理得2c2= 2accos B·(tan A+tan B),即c=acos B· (tan A+tan B),由 正 弦 定 理 得sin C= sin Acos B sin A cos A+ sin B cos B =sin Acos B· sin(A+B) cos Acos B= sin Asin C cos A ,因为sin C≠0,所 以sin A=cos A,即tan A=1,又 因 为 0<A< π 2 ,所以A= π 4 。 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年1月 (2)由余弦定理得2=b2+c2- 2bc,则 2+ 2bc=b2+c2,|AD→|2=14(AB →+AC→)2= 1 4 (c2+b2+ 2bc)= 1 2 (1+ 2bc)。由正弦 定理得 b sin B= c sin C= a sin A=2 ,则bc= 4sin Bsin C=4sin Bsin3π4-B =4sin B· sin π4+B = 2(-cos 2B+sin 2B)+ 2= 2sin2B- π 4 + 2。因为△ABC 是锐角三 角形,所以0<B< π 2 ,0< 3π 4-B< π 2 ,即π 4 <B< π 2 ,则 π