基于数列解答题，融入思维探究性-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■山东聊城第二中学 庄红岩 作为高考数学解答题中的一个重要知识 模块,数列是每年高考考查的一个重点与基 本点,考查的难度比较中等,契合大部分考生 的能力基础。而数列解答题的设置也有很多 创新点,特别是其中的存在性、探索性、应用 性与开放性等试题的设置,在一定程度上能 更好地体现高考试题的选拔性与区分度,备 受各方关注。 1.存在性 例 1 已知数列{an}满足a1=1,an- an+1=anan+1。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)是否存在正整数 m,使得am+am+1 为数列{an}中的项? 若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由。 解析:(1)因为a1=1,所以an≠0。 由an-an+1=anan+1,得 1 an+1 - 1 an =1,故 数列 1 an 是首项为1a1=1,公差为1的等差数 列,所以1 an =1+(n-1)×1=n,故an= 1 n 。 (2)假设存在正整数 m,使得am+am+1 =ak(k∈N*),则 1 m + 1 m+1= 1 k ,化简得 m2+ (1-2k)m -k =0,解 得 m = 2k-1+ 1+4k2 2 。 因为2k< 1+4k2<2k+1,所以2k- 1 2<m<2k ,m 无正整数解。 故不存在这样的m 满足题意。 点评:在解决数列中的存在性问题时,往 往先假设命题的存在性,通过数列的定义、通 项公式、求和公式及其他的一些相关知识加 以综合与应用,借助逻辑推理与证明加以分 析与转化,从而得以判断存在性问题。 2.探索性 例 2 已知数列{an}满足(n-1)an+1 =nan-1,a2=3。 (1)证明:数列{an}为等差数列,并求数 列{an}的通项公式; (2)数列bn= 1 2 an +1 +n,求满足b1+ b2+b3+…+bn<100的最大正整数n。 解析:(1)因为(n-1)an+1=nan-1,所 以(n-1)an+1-nan+1=0。 ① 所以nan+2-(n+1)an+1+1=0。 ② ②-①得nan+2-2nan+1+nan=0,即 an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列。 当n=1时,由(n-1)an+1=nan-1,可 得0=a1-1,所以a1=1。 因为a2=3,所以公差d=2,所以an= 1+2(n-1)=2n-1(n∈N*)。 (2)由(1)得bn= 1 2 an +1 +n= 14 n + n,所以b1+b2+b3+…+bn= 1 4 1- 1 4 n 1- 1 4 + n(n+1) 2 = 1 3- 1 3 · 1 4 n + n(n+1) 2 < 100,整理得 n(n+1) 2 - 1 3 · 1 4 n <100- 1 3 。 因为函数f(x)= x(x+1) 2 - 1 3 · 1 4 x 在区间(1,+∞)上单调递增,又f(14)=105 - 1 3 · 1 4 14 >100- 1 3 ,f(13)=91- 1 3 · 1 4 13 <100- 1 3 ,所以满足条件的最大正整 数为13。 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 点评:探索数列中的基本元素、参数的取 值或最值(范围)等问题是高考数列解答题的 基本命题形式。依托探索性的设置,利用特 殊数列(等差数列或等比数列)为背景,借助 数列与函数、数列与不等式等不同知识点之 间的交汇与综合,合理构建模型,巧妙进行数 学运算,正确进行逻辑推理,是破解数列解答 题最基本的技能与素养。 3.应用性 例 3 某中学有在校学生2 000人,没 有患感冒的同学。后来,由于天气骤冷,在校 学生患流行性感冒人数剧增,第一天新增患 病同学10人,之后每天新增的患病同学均比 前一天多9人。由于学生患病情况日益严 重,学校号召学生接种流感疫苗以控制病情。 从第8天起,新增患病的人数均比前一天减 少50%,并且每天有10名患病学生康复。 (1)求第n 天新增患病的人数an(1≤ n≤13,n∈N*)。 (2)按有关方面规定,当天患病学生达到 全校人数的15%时必须停课,试问:该校有 没有停课的必要? 请说明理由。 解析:(1)当1≤n≤7,n∈N*时,由于a1 =10,公差为9,则有an=10+(n-1)×9= 9n+1; 当8≤n≤13,n∈N*时,由于a7=64,公 比为 1 2 ,则有an=a7× 1 2 n-7 = 12 n-13 = 213-n。 所以an= 9n+1,1≤n≤7, 213-n,8≤n≤13 (n∈N*)。 (2)设Sn 为第n天患病的总人数。 当2≤n≤7时,Sn-Sn-1=an>0; 当8≤n≤13时,Sn-Sn