规范答题示范，培养核心素养—基于数列解答题的考查-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■杭州育新高级中学 周小锋 每年高考中,数列模块知识都是一个重 要命题点,特别在解答题中对数列的考查,除 了对数列自身的概念、公式、性质等的考查, 还经常合理融合函数与方程、不等式、创新应 用等其他相关知识,也是高考命题中考查“四 基”,以及数学运算、数学抽象、逻辑推理等核 心素养,考查创新意识与创新应用的一个重 要的风向标,备受各方关注。 一、基于基本量求值,培养数学运算 例 1 已知数列{an},{bn}满足a1= b1=1,an+1=bn+2,bn+1=2an。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn= an,an≤bn, bn,an>bn, 求 数列{cn}的前n项和Sn。 解析:(1)根据题意可知a2=b1+2=3, b2=2a1=2。 又an+2=bn+1+2=2an+2,则an+2+2= 2(an+2),即 an+2+2 an+2 =2。 当n 为奇数时,首项为a1+2=3,则有 an+2=3×2 n-1 2 ,即an=3×2 n-1 2 -2; 当n为偶数时,bn=an+1-2=3×2 n 2- 4。 所以当n为偶数时,an+2=(a2+2)× 2 n-2 2 ,即an=5×2 n-2 2 -2; 当n为奇数时,bn=an+1-2=5×2 n-1 2 -4。 综上可得,an= 3×2 n-1 2 -2,n为奇数, 5×2 n-2 2 -2,n为偶数; bn= 5×2 n-1 2 -4,n为奇数, 3×2 n 2-4,n为偶数。 (2)由(1)可知,当n 为奇数时,若an≤ bn,即3×2 n-1 2 -2≤5×2 n-1 2 -4,解得n≥1; 当n为偶数时,若an≤bn,即5×2 n-2 2 - 2≤3×2 n 2-4,解得n≥4。 所以c1=a1=b1,c2=b2,当n≥3时, cn=an,所以S1=c1=a1=1,S2=c1+c2= a1+b2=3。 当n≥3,且n为奇数时,Sn=S2+(a1+ a2+ … +an)-a1 -a2 =3+ 3×20-2 +5×20-2+3×21-2+5×21-2+…+5× 2 n-3 2 -2+3×2 n-1 2 -2 -4=8×(20+21+… +2 n-3 2 )+3×2 n-1 2 -2n-1=8× 1-2 n-3 2 +1 1-2 +3 ×2 n-1 2 -2n-1=11×2 n-1 2 -2n-9。 当n≥4,且n为偶数时,Sn=S2+(a1+ a2+…+an)-a1-a2=3+(3×20-2+5× 20-2+3×21-2+5×21-2+…+3×2 n-2 2 -2+5×2 n-2 2 -2)-4=8×(20+21+…+ 2 n-2 2 )-2n-1=8× 1-2 n-2 2 +1 1-2 -2n-1=2 n+6 2 -2n-9。 综 上 可 得, Sn = 1,n=1, 3,n=2, 11×2 n-1 2 -2n-9,n≥3且n为奇数, 2 n+6 2 -2n-9,n≥4且n为偶数。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 点评:分段数列问题有时在条件中出现 “分段”形式,有时在结论中出现“分段”形式, 经常与数列中的奇偶项问题加以交汇融合。 62 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月 分段数列问题一般分奇数项、偶数项两种常 见方式来表示,也可以分n=1,n=2,以及数 列其他项的情况来表示等,要合理正确加以 分段处理与表示。 二、基于函数不等式,培养逻辑推理 例 2 已知函数f(x)=x+12 ,Sn= f 1 n +f 2n +…+f n-22 +f n-1n , 其中n∈N*,且n≥2。 (1)当n≥2时,求Sn; (2)设a1= 1 2 ,an= 1 (Sn+1)(Sn+1+1) (n∈N*,且n≥2),记数列{an}的前n项和为 Tn,求使得Tn< m 2 恒成立的m 的最小整数。 解析:(1)已知f(x)=x+ 1 2 ,则Sn= f 1 n +f 2n +…+f n-2n +fn-1n = 1 n+ 1 2 + 2n+12 +…+ n-2n +12 + n-1 n + 1 2 = 1n+2n+…+n-2n +n-1n + n-1 2 = n(n-1) 2n + n-1 2 =n-1 。 (2)由(1)可知,当n≥2时,Sn=n-1。 则当n≥2时,an= 1 (Sn+1)(Sn+1+1) = 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 。 则当n≥2时,数列{an}的前n 项和 Tn= 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + … + 1 n- 1 n+1 =1- 1n+1。 又当n≥2时