高中数学数列易错题剖析-《中学生数理化》高考数学2024年1月刊

■河南省许昌实验中学 朱嬿源 ■河南省许昌高级中学 温 馨 数列是高中数学的重点,也是高考的热 点。在平时的练习和考试中同学们时常会出 现思路受阻、会而不对、对而不全的现象,很 多同学对此感到困惑。而分析题目的易错点 是解决同学们困惑的一种有效途径,本文结 合实践,现将数列中经常出现的易错点整理 如下,希望对同学们的学习能有所帮助。 易错点一、已知Sn 求an 时,首项错误导 致全盘皆输 例 1 设数列{an}的前n 项和为Sn, 且an≠0, n2+n+1 Sn = n2+n+4-Sn 3 ,求数列 {an}的通项公式。 错解:由n 2+n+1 Sn = n2+n+4-Sn 3 ,得 S2n-(n2+n+4)Sn+ 3(n2+n+1)= 0,即 (Sn-3)[Sn-(n2+n+1)]=0,解得Sn=3 (舍去)或Sn=n2+n+1。 因为an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n- 1)2-(n-1)-1=2n,所以an=2n。 错因分析:①思路受阻,不能对已知条件 进行等价转化,先求出Sn;②an=Sn-Sn-1 成立的条件是n≥2,当n=1时要单独检验。 正解:由n 2+n+1 Sn = n2+n+4-Sn 3 ,得 S2n-(n2+n+4)Sn+3(n2+n+1) =0,即 (Sn-3)[Sn-(n2+n+1)]=0,解得Sn=3 (舍去)或Sn=n2+n+1。 当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1- (n-1)2-(n-1)-1=2n。 综上可得,an= 3,n=1, 2n,n≥2。 易错点二、忽视数列的定义域导致错误 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an=n+ 20 n-20 ,则an 的最小值为( )。 A.45-20 B.-11 C.12 D.1 错解:由基本不等式知n+ 20 n -20≥ 2 n× 20 n -20=45-20 。 错因分析:数列是特殊的函数,但数列的 定义域为正整数集。 正解:由条件知an+1-an=(n+1)+ 20 n+1-20- n+ 20 n-20 =1+ 20n+1-20n。 设an+1-an>0,即1+ 20 n+1- 20 n>0 ,即(n+ 1)n+20n-20(n+1)>0,化简得n2+n-20 >0。设y=x2+x-20,因为Δ=1+80=81 >0,所以x= -1±9 2 。因为n∈N*,所以当 n>4时,an+1>an,所以a1>a2>a3>a4= a5<a6<a7…,所以当n=4或5时,an 有最 小值,所以 a4=4+5-20=-11。故选B。 例 3 设 函 数 f (x ) = (4-a)x-5,x≤8, ax-8,x>8, 数 列{an} 满 足 an = f(n), n∈N*,且数列{an}是递增数列,则实 数a的取值范围是( )。 A.134 ,4 B.134,4 C.(1,4) D.(3,4) 错解: 由于数列{an}是递增数列,所以 4-a>0, a>1, (4-a)×8-5<a8-8, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 13 4<a<4 。 错因分析:数列是特殊的函数,忽视数列 的定义域为正整数集而出现错误。 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年1月 正解:由于数列{an}是递增数列,所以 4-a>0, a>1, (4-a)×8-5<a9-8, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得3<a<4。故选D。 易错点三、利用等比数列的前n 项和公 式时忽略q=1导致错误 例 4 求数列an=an(a≠0)的前n项 和Sn。 错解:代入等比数列的前n 项和公式得 Sn= a(1-an) 1-a 。 错因分析:利用等比数列的前n 项和公 式时忽略对q=1的讨论出现错误。 正解:当a=1时,Sn=na; 当a≠1时,Sn= a(1-an) 1-a 。 易错点四、不会利用数列的周期性导致 思路受阻 例 5 已知数列{an}中,a1=-2,an+1 = 1+an 1-an ,则a2 023=( )。 A.-2 B.- 1 3 C. 1 2 D.3 错解:由已知转化为an+1-an+1·an= 1+an,因转化不当使条件的结构更加复杂, 导致思维受阻,无法进行下去。 错因分析:忽略数列的周期性而导致思 维受阻,出现错误。 正解:由a2= 1+a1 1-a1 =- 1 3 ,a3= 1+a2 1-a2 = 1 2 ,a4= 1+a3 1-a3 =3,a5= 1+a4 1-a4 =-2,a6= 1+a5 1-a5 =- 1 3 ,可得数列{a